[obm-l] Hipercubos e Hiperesferas

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas:

Aqui estah uma construcao que ultrapassa a minha capacidade de visualizacao
em mais de 3 dimensoes (descrita no livro: Mathematics - The Science of
Patterns; pgs. 160/161; autor: Keith Devlin; Scientific American Library)

No R^2 um hipercubo eh apenas um quadrado, digamos, com vertices (2,2),
(2,-2), (-2,2) e (-2,-2).
Inscreva nesse quadrado 4 hiperesferas (no R^2 - circulos) com centros em
(1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1) e raios iguais a 1.
Considere agora o menor circulo centrado na origem e tangente aos 4 circulos
descritos acima. 
Nao eh dificil ver que o raio desse circulo serah igual a raiz(2) - 1.

Repita a construcao, mas agora no R^3: cubo com vertices (+/-2,+/-2,+/-2); 8
esferas de raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,+/-1). A pequena esfera central
(tangente as outras 8) agora terah um raio igual a raiz(3) - 1.

Va adicionando dimensoes...

No R^4: hipercubo com vertices (+/-2,+/-2,+/-2,+/-2)  (16 ao todo); 16
hiperesferas com raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,+/-1,+/-1); hiperesfera
central (tangente as outras 16) com raio igual a raiz(4) - 1 = 1.

....

No R^n: hipercubo com 2^n vertices (+/-2,+/-2,...,+/-2);
2^n hipreseferas com raio 1 e centros em (+/-1,+/-1,...,+/-1);
hiperesfera central com raio igual a raiz(n) - 1.

*****

No R^n, o raio da hiperesefera central (tangente as demais) eh igual a
diferenca entre:
a distancia da origem ao centro de uma das hiperesferas de raio 1
e
o raio de uma dessas hiperesferas (igual a 1, eh claro!)

A distancia eh calculada mediante o teorema de Pitagoras em n dimensoes.
d = raiz(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) = raiz(n)

Logo, raio da hipersefera central = raiz(n) - 1.

*****

Agora vem a parte surpreendente (pelo menos pra mim).

Para qualquer n, a aresta do hipercubo do R^n mede 4.

Se n = 9, o raio da hiperesfera central serah igual a raiz(9) - 1 = 2 e se n
> 9, o raio serah maior do que 2, ou seja, a hiperesfera central ira se estender
para alem das (hiper)faces do hipercubo.

Alguem consegue visualizar isso?


Um abraco,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================