Re: [obm-l] Hipercubos e Hiperesferas

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Caros colegas:
> 
> Aqui estah uma construcao que ultrapassa a minha capacidade de visualizacao
> em mais de 3 dimensoes (descrita no livro: Mathematics - The Science of
> Patterns; pgs. 160/161; autor: Keith Devlin; Scientific American Library)
...
> No R^n, o raio da hiperesefera central (tangente as demais) eh igual a
> diferenca entre:
> a distancia da origem ao centro de uma das hiperesferas de raio 1
> e
> o raio de uma dessas hiperesferas (igual a 1, eh claro!)
> 
> A distancia eh calculada mediante o teorema de Pitagoras em n dimensoes.
> d = raiz(1^2 + 1^2 + ... + 1^2) = raiz(n)
> 
> Logo, raio da hipersefera central = raiz(n) - 1.
> 
> *****
> 
> Agora vem a parte surpreendente (pelo menos pra mim).
> 
> Para qualquer n, a aresta do hipercubo do R^n mede 4.
> 
> Se n = 9, o raio da hiperesfera central serah igual a raiz(9) - 1 = 2
> e se n > 9, o raio serah maior do que 2, ou seja, a hiperesfera central
> ira se estender para alem das (hiper)faces do hipercubo.
> 
> Alguem consegue visualizar isso?

Bem, as suas contas estão todas certas, é difícil saber o que responder.
Talvez ajude observar que quando a dimensão é grande a distância entre
o centro de um hipercubo e um vértice (sqrt(n), no seu exemplo)
é muito maior do que a distância entre o centro e uma face (1).
Talvez ajude também observar que, quando a dimensão n sobe,
as 2^n esferinhas ocupam uma proporção cada vez menor do "céu"
para um observador na origem e portanto os buracos entre as esferas
ficam maiores, permitindo a uma esferona centrada na origem passar
uma "barriga" cada vez maior para fora. Talvez ajude ainda observar
que o conjunto de bolas de raio 1/2 centradas em pontos de Z^n fica
cada vez mais ralo quando a dimensão sobe: já em dimensão 4 há espaço
para esferas nos pontos de Z^n + (1/2,1/2,1/2,1/2).

Um livro que pode ser do seu interesse é Conway/Sloane,
Sphere packings, lattices and groups.

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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