Re: [obm-l] Isomorfismo de Grupos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, Jun 21, 2003 at 01:30:22AM -0300, Claudio Buffara wrote:
> Caros colegas:
> 
> 1) Pode existir um isomorfismo entre o grupo aditivo dos reais e o grupo
> aditivo dos complexos?

Sim.

Ambos são espaços vetoriais sobre Q (o corpo dos racionais).
Assim R admite uma base X: X é um subconjunto de R tal que todo
número real pode ser escrito de forma única como uma combinação
linear (finita) de elementos de X com coeficientes em Q.
Não é difícil provar que X deve ter o mesmo cardinal de R
mas isso nem é necessário, basta ver que X é infinito para
ver que existe uma bijeção entre X e X U iX (onde iX é o conjunto
dos produtos ix onde i = sqrt(-1) e x é um elemento de X).
Como X U iX é base de C temos um isomorfismo entre R e C
como espaços vetoriais sobre Q.

O que é difícil é exibir um tal isomorfismo (ou um conjunto X
como acima). Para garantir que ele existe precisamos do axioma
da escolha. Note que se V=L então temos como exibir X muito
explicitamente mas esta descrição de X deve ser completamente
errada se não valer V=L.

[]s, N.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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