[obm-l] Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polin�mios

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Gugu.

Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.

Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) s�o primos entre si e tem graus n e m
respectivamente ent�o o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
Q(x,y)=0 possui nm pontos.

Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
teorema tamb�m vale em dimens�es finitas maiores do que dois? Qual o �rea da
matem�tica que estuda esses resultados e a rela��o deles com as curvas
alg�bricas C?

Abra�o,
Duda.

From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>    Caro Duda,
>    Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
> sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
> fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
> f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
entre
> si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
modo
> F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
> tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
> inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
> R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
>    Abracos,
>             Gugu
>
> >
> >Caros colegas da lista.
> >
> >Em um livro de �lgebra (Shafarevich) li a seguinte defini��o.
> >
> >Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
seja
> >F(x,y) um polin�mio em duas vari�veis com coeficientes em K. Seja C a
curva
> >dos pontos que anulam F, isto �, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
> >ent�o, o conjunto K(C) das fun��es polinomiais P(x,y) restritas ao
dom�nio
> >C. Esta defini��o pode n�o estar muito clara. Todo o polin�mio P(x,y)
define
> >uma fun��o polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o dom�nio de
P
> >ao conjunto C e considere o conjunto de todas as fun��es polinomiais
> >restritas a esse conjunto.
> >
> >No livro, diziz que se F � um polin�mio irredut�vel, ent�o K(C) � um
dom�nio
> >de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) � um polin�mio a
duas
> >vari�veis e C � o curva dos pontos onde F se anula ent�o n�o existem dois
> >polin�mios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
pontos
> >de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
> >
> >Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das ra�zes do
> >polin�mio L de duas vari�veis. Se um polin�mio F � irredut�vel e seu
> >conjunto de ra�zes � raiz(L), ent�o n�o existem dois polin�mios P e Q
tais
> >que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
> >raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
contido)
> >
> >Algu�m sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
> >
> >Obrigado pela aten��o.
> >Duda.
> >
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> >Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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