[obm-l] Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Gugu.

Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.

Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) são primos entre si e tem graus n e m
respectivamente então o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
Q(x,y)=0 possui nm pontos.

Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
teorema também vale em dimensões finitas maiores do que dois? Qual o área da
matemática que estuda esses resultados e a relação deles com as curvas
algébricas C?

Abraço,
Duda.

From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>    Caro Duda,
>    Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
> sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
> fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
> f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
entre
> si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
modo
> F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
> tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
> inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
> R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
>    Abracos,
>             Gugu
>
> >
> >Caros colegas da lista.
> >
> >Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.
> >
> >Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
seja
> >F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a
curva
> >dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
> >então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao
domínio
> >C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y)
define
> >uma função polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o domínio de
P
> >ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
> >restritas a esse conjunto.
> >
> >No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um
domínio
> >de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a
duas
> >variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
> >polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
pontos
> >de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
> >
> >Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
> >polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
> >conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q
tais
> >que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
> >raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
contido)
> >
> >Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
> >
> >Obrigado pela atenção.
> >Duda.
> >
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> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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