Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Duda,
   Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos entre
si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo modo
F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
   Abracos,
            Gugu
 
>
>Caros colegas da lista.
>
>Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.
>
>Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e seja
>F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a curva
>dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
>então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao domínio
>C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y) define
>uma função polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o domínio de P
>ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
>restritas a esse conjunto.
>
>No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um domínio
>de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a duas
>variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
>polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os pontos
>de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
>
>Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
>polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
>conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q tais
>que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
>raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente contido)
>
>Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
>
>Obrigado pela atenção.
>Duda.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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