[obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista.

Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.

Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e seja
F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a curva
dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao domínio
C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y) define
uma função polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o domínio de P
ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
restritas a esse conjunto.

No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um domínio
de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a duas
variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os pontos
de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.

Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q tais
que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente contido)

Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?

Obrigado pela atenção.
Duda.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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