Re: [obm-l] integral de sec x

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Oi, Duda:

A ideia eh parametrizar os pontos da circunferencia unitaria.
Para isso, considere a intersecao da reta y = t(x+1) com a circunferencia
x^2 + y^2 = 1. 

Substituindo:
x^2 + t^2(x+1)^2 = 1 ==>
(1+t^2)x^2 + 2t^2x + (t^2-1) = 0 ==>
x = (-2t^2 +ou- raiz(4t^4 - 4(t^4-1)))/(2(1+t^2)) ==>
x = (1-t^2)/(1+t^2)   ou    x = -1

Agora, usando o fato de que y = t(x+1), teremos:
x+1 = 2/(1+t^2)   ou   x+1 = 0 ==>
y = 2t/(1+t^2)   ou   y = 0

Logo, a circunferencia unitaria fica sendo o conjunto:
C = {(-1,0)} U {( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R}

Por outro lado, tambem temos a parametrizacao:
x = cos(u); y = sen(u)   -Pi < u <= Pi
Ou seja:
C' = { ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi] }

Eh facil ver que existe uma bijecao entre C e C'.

Em particular, se excluirmos o ponto (-1,0) = (cos(Pi),sen(Pi)), ficaremos
com uma bijecao entre:
{( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R}
e
{ ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi) }  (note o intervalo
aberto em Pi)

*****

Uma outra forma de ver isso eh expressar cos(u) e sen(u) em funcao de
tg(u/2). Fazendo isso, voce vai descobrir a relacao entre t e u (que eh
justamente t = tg(u/2), o que explica o porque do ponto (-1,0) ser especial:
tg(u/2) nao eh definida para u = Pi))

*****

Com essa parametrizacao, voce transforma uma integral trigonometrica numa
envolvendo funcoes racionais, o que pode simplificar o problema.

Qualquer bom livro de calculo deve mencionar (e com sorte, dar uma
explicacao inteligivel sobre) varias outras substituicoes usadas para se
integrar funcoes. Tambem vale a pena checar o algoritmo que o Nicolau
mencionou na mensagem dele de ontem. Infelizmente, sobre esse eu nao sei
nada...

Espero que tenha ficado claro.

Um abraco,
Claudio.

on 12.06.03 01:11, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:

> Re: [obm-l] integral de sec xOi Cláudio.
> 
> Esta parametrização que você está usando é uma substituição de Euler. Eu
> apenas sei o nome do método, não sei utilizá-lo. Você poderia dar uma breve
> explicação ou me indicar uma fonte onde eu possa ver essa e outras
> substituições?
> 
> Abraço!
> Duda.
> 
>> From: Claudio Buffara
> 
> on 11.06.03 23:01, Wagner at timpa@uol.com.br wrote:
> 
> 
> 
> Como faço par calcular essa integral?
> /\
> |
> |
> |   (sec x)dx
> |
> |
> \/
> 
> André T.
> 
> Oi, Andre:
> 
> Uma ideia eh usar a parametrizacao:
> cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
> sen(x) = 2t/(1+t^2)
> 
> Donde: sec(x) = (1+t^2)/(1-t^2)   e   tg(x) = 2t/(1-t^2)
> 
> Derivando sen(x) em relacao a t, obtemos:
> d(sen(x))/dt =
> cos(x)*dx/dt =
> (2(1+t^2) - 4t^2)/(1+t^2)^2 =
> 2(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
> 
> (1-t^2)/(1+t^2)*dx/dt = 2*(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
> 
> dx = (2/(1+t^2))dt
> 
> Assim, combinando as expressoes de sec(x) e dx, obtemos:
> sec(x)dx = ((1+t^2)/(1-t^2))(2/(1+t^2))dt = (2/(1-t^2))dt ==>
> 
> sec(x)dx = (1/(1-t) + 1/(1+t))dt ==>
> 
> INT(sec(x)dx) = INT((1/(1-t) + 1/(1+t))dt) =
> -ln|1-t| + ln|1+t| =
> ln|(1+t)/(1-t)| =
> ln|(1+2t+t^2)/(1-t^2)| =
> ln|(1+t^2)/(1-t^2) + 2t/(1-t^2)| =
> ln|sec(x) + tg(x)|
> 
> Logo, INT(sec(x)dx) = ln|sec(x) + tg(x)|
> 
> Um abraco,
> Claudio.
> 
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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