Re: [obm-l] integral de sec x

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Re: [obm-l] integral de sec xOi Cláudio.

Esta parametrização que você está usando é uma substituição de Euler. Eu
apenas sei o nome do método, não sei utilizá-lo. Você poderia dar uma breve
explicação ou me indicar uma fonte onde eu possa ver essa e outras
substituições?

Abraço!
Duda.

> From: Claudio Buffara

on 11.06.03 23:01, Wagner at timpa@uol.com.br wrote:



Como faço par calcular essa integral?
      /\
     |
     |
     |   (sec x)dx
     |
     |
   \/

André T.

Oi, Andre:

Uma ideia eh usar a parametrizacao:
cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
sen(x) = 2t/(1+t^2)

Donde: sec(x) = (1+t^2)/(1-t^2)   e   tg(x) = 2t/(1-t^2)

Derivando sen(x) em relacao a t, obtemos:
d(sen(x))/dt =
cos(x)*dx/dt =
(2(1+t^2) - 4t^2)/(1+t^2)^2 =
2(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>

(1-t^2)/(1+t^2)*dx/dt = 2*(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>

dx = (2/(1+t^2))dt

Assim, combinando as expressoes de sec(x) e dx, obtemos:
sec(x)dx = ((1+t^2)/(1-t^2))(2/(1+t^2))dt = (2/(1-t^2))dt ==>

sec(x)dx = (1/(1-t) + 1/(1+t))dt ==>

INT(sec(x)dx) = INT((1/(1-t) + 1/(1+t))dt) =
-ln|1-t| + ln|1+t| =
ln|(1+t)/(1-t)| =
ln|(1+2t+t^2)/(1-t^2)| =
ln|(1+t^2)/(1-t^2) + 2t/(1-t^2)| =
ln|sec(x) + tg(x)|

Logo, INT(sec(x)dx) = ln|sec(x) + tg(x)|

Um abraco,
Claudio.

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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