Re: [obm-l] integral de sec x

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] integral de sec x

on 11.06.03 23:01, Wagner at timpa@uol.com.br wrote:

>  
> Como faço par calcular essa integral?
>        /\
>       |
>       |
>       |   (sec x)dx
>       |
>       |
>     \/
>  
> André T.
>
> Oi, Andre:
>
> Uma ideia eh usar a parametrizacao:
> cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
> sen(x) = 2t/(1+t^2)
>
> Donde: sec(x) = (1+t^2)/(1-t^2)   e   tg(x) = 2t/(1-t^2)
>
> Derivando sen(x) em relacao a t, obtemos:
> d(sen(x))/dt = 
> cos(x)*dx/dt = 
> (2(1+t^2) - 4t^2)/(1+t^2)^2 = 
> 2(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
>
> (1-t^2)/(1+t^2)*dx/dt = 2*(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
>
> dx = (2/(1+t^2))dt
>
> Assim, combinando as expressoes de sec(x) e dx, obtemos:
> sec(x)dx = ((1+t^2)/(1-t^2))(2/(1+t^2))dt = (2/(1-t^2))dt ==>
>
> sec(x)dx = (1/(1-t) + 1/(1+t))dt ==>
>
> INT(sec(x)dx) = INT((1/(1-t) + 1/(1+t))dt) =
> -ln|1-t| + ln|1+t| =
> ln|(1+t)/(1-t)| = 
> ln|(1+2t+t^2)/(1-t^2)| = 
> ln|(1+t^2)/(1-t^2) + 2t/(1-t^2)| =
> ln|sec(x) + tg(x)| 
>
> Logo, INT(sec(x)dx) = ln|sec(x) + tg(x)|
>
> Um abraco,
> Claudio.