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Re: [obm-l] integral de sec x
Oi Cláudio.
Agradeço por esta mensagem e pela outra sobre o teorema de Bezout. As duas
foram muito claras e me auxiliaram a compreender os resultados.
Queria te indicar uma mensagem do Paulo Santa Rita
http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/msg07483.html
onde ele comenta sobre o algoritmo de Risch, que tem a ver com como integrar
funções de modo algorítmico assim com aprendemos a diferenciá-las. Ontem à
noite, pensei um pouco sobre por que temos mais dificuldade em integrar do
que em diferenciar. Minha resposta - mesmo que não seja boa - é que a
integração envolve uma quantidade cada vez maior de parcelas numa soma (que
pode ser difícil de calcular) da quebra de um intervalo em várias partes,
enquanto a diferenciação envolve um limite que é tomada numa vizinhança tão
pequena quanto se queira em torno de um ponto. Me parece que a integração é
algo global, e a diferenciação algo local. Ou seja, você precisa considerar
todo um intervalo [0,x] e os valores que a função assume em todo ele para
poder integrá-la. Para diferenciar, você precisa sober apenas a tendência de
comportamento numa vizinhança próxima de um ponto (x-e, x+e).
Obrigado e um abraço,
Duda.
From: "Claudio Buffara" <claudio.buffara@terra.com.br>
> Oi, Duda:
>
> A ideia eh parametrizar os pontos da circunferencia unitaria.
> Para isso, considere a intersecao da reta y = t(x+1) com a circunferencia
> x^2 + y^2 = 1.
>
> Substituindo:
> x^2 + t^2(x+1)^2 = 1 ==>
> (1+t^2)x^2 + 2t^2x + (t^2-1) = 0 ==>
> x = (-2t^2 +ou- raiz(4t^4 - 4(t^4-1)))/(2(1+t^2)) ==>
> x = (1-t^2)/(1+t^2) ou x = -1
>
> Agora, usando o fato de que y = t(x+1), teremos:
> x+1 = 2/(1+t^2) ou x+1 = 0 ==>
> y = 2t/(1+t^2) ou y = 0
>
> Logo, a circunferencia unitaria fica sendo o conjunto:
> C = {(-1,0)} U {( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R}
>
> Por outro lado, tambem temos a parametrizacao:
> x = cos(u); y = sen(u) -Pi < u <= Pi
> Ou seja:
> C' = { ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi] }
>
> Eh facil ver que existe uma bijecao entre C e C'.
>
> Em particular, se excluirmos o ponto (-1,0) = (cos(Pi),sen(Pi)), ficaremos
> com uma bijecao entre:
> {( (1-t^2)/(1+t^2) , 2t/(1+t^2) ) tais que t pertence a R}
> e
> { ( cos(u) , sen(u) ) tais que u pertence a (-Pi,Pi) } (note o intervalo
> aberto em Pi)
>
> *****
>
> Uma outra forma de ver isso eh expressar cos(u) e sen(u) em funcao de
> tg(u/2). Fazendo isso, voce vai descobrir a relacao entre t e u (que eh
> justamente t = tg(u/2), o que explica o porque do ponto (-1,0) ser
especial:
> tg(u/2) nao eh definida para u = Pi))
>
> *****
>
> Com essa parametrizacao, voce transforma uma integral trigonometrica numa
> envolvendo funcoes racionais, o que pode simplificar o problema.
>
> Qualquer bom livro de calculo deve mencionar (e com sorte, dar uma
> explicacao inteligivel sobre) varias outras substituicoes usadas para se
> integrar funcoes. Tambem vale a pena checar o algoritmo que o Nicolau
> mencionou na mensagem dele de ontem. Infelizmente, sobre esse eu nao sei
> nada...
>
> Espero que tenha ficado claro.
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> on 12.06.03 01:11, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br
wrote:
>
> > Re: [obm-l] integral de sec xOi Cláudio.
> >
> > Esta parametrização que você está usando é uma substituição de Euler. Eu
> > apenas sei o nome do método, não sei utilizá-lo. Você poderia dar uma
breve
> > explicação ou me indicar uma fonte onde eu possa ver essa e outras
> > substituições?
> >
> > Abraço!
> > Duda.
> >
> >> From: Claudio Buffara
> >
> > on 11.06.03 23:01, Wagner at timpa@uol.com.br wrote:
> >
> >
> >
> > Como faço par calcular essa integral?
> > /\
> > |
> > |
> > | (sec x)dx
> > |
> > |
> > \/
> >
> > André T.
> >
> > Oi, Andre:
> >
> > Uma ideia eh usar a parametrizacao:
> > cos(x) = (1-t^2)/(1+t^2)
> > sen(x) = 2t/(1+t^2)
> >
> > Donde: sec(x) = (1+t^2)/(1-t^2) e tg(x) = 2t/(1-t^2)
> >
> > Derivando sen(x) em relacao a t, obtemos:
> > d(sen(x))/dt =
> > cos(x)*dx/dt =
> > (2(1+t^2) - 4t^2)/(1+t^2)^2 =
> > 2(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
> >
> > (1-t^2)/(1+t^2)*dx/dt = 2*(1-t^2)/(1+t^2)^2 ==>
> >
> > dx = (2/(1+t^2))dt
> >
> > Assim, combinando as expressoes de sec(x) e dx, obtemos:
> > sec(x)dx = ((1+t^2)/(1-t^2))(2/(1+t^2))dt = (2/(1-t^2))dt ==>
> >
> > sec(x)dx = (1/(1-t) + 1/(1+t))dt ==>
> >
> > INT(sec(x)dx) = INT((1/(1-t) + 1/(1+t))dt) =
> > -ln|1-t| + ln|1+t| =
> > ln|(1+t)/(1-t)| =
> > ln|(1+2t+t^2)/(1-t^2)| =
> > ln|(1+t^2)/(1-t^2) + 2t/(1-t^2)| =
> > ln|sec(x) + tg(x)|
> >
> > Logo, INT(sec(x)dx) = ln|sec(x) + tg(x)|
> >
> > Um abraco,
> > Claudio.
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >
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