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Re: [obm-l] Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios
Oi, Duda:
Estou me intrometendo, mas acho que esse eh um ponto importante. No teorema
de Bezout, o numero de pontos de intersecao soh eh m*n se levarmos em conta
multiplicidades, pontos de coordenadas complexas e pontos no infinito.
Por exemplo, considere os polinomios:
P(x,y) = x^2 - y e Q(x,y) = -x + y^2
P e Q sao primos entre si.
O conjunto dos pontos (x,y) tais que P(x,y) = 0 eh uma parabola em R^2. Idem
para Q(x,y) = 0.
O teorema de Bezout diz que existem 2*2 = 4 pontos de intersecao. Vamos
determina-los:
x^2 - y = 0
-x + y^2 = 0 ==>
y = x^2 ==>
-x + (x^2)^2 = 0 ==>
x^4 - x = 0 ==>
Raizes:
x = 0, x = 1, x = e^(i*2Pi/3) = w, x = w^2 ==>
Os y correspondentes sao:
y = 0, y = 1, y = w^2, y = w
Pontos de intersecao: (0,0), (1,1), (w,w^2), (w^2,w).
Logo, dos quatro pontos de intersecao previstos pelo teorema de Bezout, dois
tem coordenadas complexas.
*****
Outro exemplo:
P(x,y) = 3x - y - 2 e Q(x,y) = x^3 - y
P(x,y) = 0 ==> y = 3x - 2
Q(x,y) = 0 ==> y = x^3
Novamente, P e Q sao primos entre si.
Pelo teorema de Bezout, devem haver 1*3 = 3 pontos de intersecao.
y = 3x - 2
y = x^3 ==>
x^3 - 3x + 2 = 0
Raizes: x = 1 e x = -2
Os y correspondentes sao:
y = 1 e y = -8
Pontos de intersecao: (1,1) e (-2,-8)
Cade o terceiro ponto?
Bom, repare que x = 1 eh uma raiz dupla de x^3 - 3x + 2 = 0.
Logo, o ponto (1,1) deve ser contado duas vezes.
Geometricamente, o que ocorre eh que a reta y = 3x - 2 eh tangente a cubica
y = x^3 no ponto (1,1).
*****
Mais um exemplo:
P(x,y) = x + y e Q(x,y) = x + y - 1
P e Q sao primos entre si e o teorema de Bezout preve 1*1 = 1 intersecao.
P(x,y) = 0 e Q(x,y) = 0 ==>
x + y = 0
x + y = 1 ==> sistema inconsistente
Nesse caso, qual eh o ponto de intersecao?
A resposta eh: um ponto no infinito (MUITO INFORMALMENTE: onde retas
paralelas se encontram...).
*****
Finalmente:
P(x,y) = x^2 - y^2 e Q(x,y) = x + y
P(x,y) = 0 ==> x^2 - y^2 = 0
Q(x,y) = 0 ==> x + y = 0
Nesse caso qualquer ponto da forma (a,-a) com a real eh solucao do sistema,
ou seja, ha uma infinidade de pontos de intersecao.
No entanto, Bezout previa apenas 1*2 = 2 pontos. Ou nao?
Repare que o enunciado do teorema fala que P(x,y) e Q(x,y) tem de ser primos
entre si, o que nao ocorre nesse caso.
De fato, aqui temos P(x,y) = (x - y)*Q(x,y).
*****
Tudo isso faz parte da geometria algebrica, um dos ramos mais fascinantes da
matematica, na minha opiniao. De fato, se algum dia eu for fazer
pos-graduacao em matematica (e ainda tenho que comer muito feijao com arroz
pra chegar lah), vai ser nisso ai ou em teoria dos numeros (alias, os dois
ramos sao altamente inter-relacionados - por exemplo, o ultimo teorema de
Fermat for provado mediante tecnicas da geometria algebrica).
Um abraco,
Claudio.
on 12.06.03 01:42, Eduardo Casagrande Stabel at dudasta@terra.com.br wrote:
> Oi Gugu.
>
> Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.
>
> Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) são primos entre si e tem graus n e m
> respectivamente então o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
> Q(x,y)=0 possui nm pontos.
>
> Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
> teorema também vale em dimensões finitas maiores do que dois? Qual o área da
> matemática que estuda esses resultados e a relação deles com as curvas
> algébricas C?
>
> Abraço,
> Duda.
>
> From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>> Caro Duda,
>> Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
>> sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
>> fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
>> f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
> entre
>> si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
> modo
>> F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
>> tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
>> inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
>> R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
>> Abracos,
>> Gugu
>>
>>>
>>> Caros colegas da lista.
>>>
>>> Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.
>>>
>>> Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
> seja
>>> F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a
> curva
>>> dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
>>> então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao
> domínio
>>> C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y)
> define
>>> uma função polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o domínio de
> P
>>> ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
>>> restritas a esse conjunto.
>>>
>>> No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um
> domínio
>>> de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a
> duas
>>> variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
>>> polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
> pontos
>>> de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
>>>
>>> Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
>>> polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
>>> conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q
> tais
>>> que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
>>> raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
> contido)
>>>
>>> Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
>>>
>>> Obrigado pela atenção.
>>> Duda.
>>>
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>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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