Re: [obm-l] Re: [obm-l] [nivel-u] Pergunta sobre polinômios

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Oi Duda,
   Para valer a igualdade e' preciso que K seja algebricamente fechado
(i.e., todo polinomio em K[x] tem raiz em K), como C (os complexos, nao a
sua curva; esse e' um resultado sobre intersecoes de curvas algebricas). Para
R nao vale, senao toda reta intersectaria todo circulo. Tambem e' preciso 
contar os pontos com multiplicidade (definir multiplicidade de intersecao 
nesse cas da' um certo trabalho...). A rigor esse assunto e' um dos primeiros
resultados de Geometria Algebrica. 
    Por outro lado, a desigualdade que diz que a intersecao de P=0 com Q=0
tem no maximo mn pontos vale em corpos mais gerais e e' mais facil de provar
(e e' suficiente para o seu problema). Veja por exemplo o livro de introducao 
a algebra do Arnaldo Garcia e do Yves Lequain, publicado pelo Projeto
Euclides, do IMPA.
    Abracos,
             Gugu

>
>Oi Gugu.
>
>Obrigado pela sua resposta! Eu encontrei o seguinte enunciado.
>
>Teorema de Bezout. Se P(x,y) e Q(x,y) são primos entre si e tem graus n e m
>respectivamente então o conjunto dos pontos (x,y) tal que P(x,y)=0 e
>Q(x,y)=0 possui nm pontos.
>
>Isto vale com P e Q pertencentes a K[x,y] para um corpo K qualquer? O
>teorema também vale em dimensões finitas maiores do que dois? Qual o área da
>matemática que estuda esses resultados e a relação deles com as curvas
>algébricas C?
>
>Abraço,
>Duda.
>
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>>    Caro Duda,
>>    Isso segue de uma versao fraca do teorema de Bezout: se f(x,y) e g(x,y)
>> sao primos entre si (lembre que K[x,y] e' um dominio fatorial, i.e., vale
>> fatoracao unica, como em Z) entao o conjunto dos pontos (x,y) tais que
>> f(x,y)=0 e g(x,y)=0 e' finito. No seu caso, F(x,y) e P(x,y) sao primos
>entre
>> si (senao F divide P e P se anula em todos os pontos de C), e do mesmo
>modo
>> F(x,y) e Q(x,y) tambem sao primos entre si, donde F(x,y) e P(x,y).Q(x,y)
>> tambem sao primos entre si, donde o resultado segue pela nossa observacao
>> inicial DESDE QUE C SEJA INFINITO. Senao e' facil dar contra-exemplo em
>> R(x,y): Tome F(x,y)=(x(x-1))^2+y^2, P(x,y)=x, Q(x,y)=x-1.
>>    Abracos,
>>             Gugu
>>
>> >
>> >Caros colegas da lista.
>> >
>> >Em um livro de álgebra (Shafarevich) li a seguinte definição.
>> >
>> >Considere K um corpo qualquer (pode ser os reais R para facilitar), e
>seja
>> >F(x,y) um polinômio em duas variáveis com coeficientes em K. Seja C a
>curva
>> >dos pontos que anulam F, isto é, C = { (x,y) : F(x,y) = 0 }. Define-se,
>> >então, o conjunto K(C) das funções polinomiais P(x,y) restritas ao
>domínio
>> >C. Esta definição pode não estar muito clara. Todo o polinômio P(x,y)
>define
>> >uma função polinomial P:R^2->R em todo R^2, agora restrinja o domínio de
>P
>> >ao conjunto C e considere o conjunto de todas as funções polinomiais
>> >restritas a esse conjunto.
>> >
>> >No livro, diziz que se F é um polinômio irredutível, então K(C) é um
>domínio
>> >de integridade. O que quer dizer isso? Que se F(x,y) é um polinômio a
>duas
>> >variáveis e C é o curva dos pontos onde F se anula então não existem dois
>> >polinômios P(x,y) e Q(x,y) tal que P(x,y)Q(x,y) se anula em todos os
>pontos
>> >de C apesar de nem P nem Q se anularem em todos os pontos de C.
>> >
>> >Um outro modo de ver o resultado. Chame raiz(L) = conjunto das raízes do
>> >polinômio L de duas variáveis. Se um polinômio F é irredutível e seu
>> >conjunto de raízes é raiz(L), então não existem dois polinômios P e Q
>tais
>> >que raiz(P) < raiz(L) e raiz(Q) < raiz(L) apesar de raiz(P) U raiz(Q) >=
>> >raiz(L). (onde os sinais de desigualdade representam estritamente
>contido)
>> >
>> >Alguém sabe demonstrar esse resultado ou me dar uma dica sobre ele?
>> >
>> >Obrigado pela atenção.
>> >Duda.
>> >
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>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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