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O Yuri não utilizou indução nesse problema, e esse
pedaço em que você teve dúvida, ele digitou incorreto:
Correção:
=[1-((1+i)/2)^(2^n)].
[1+((1+i)/2)^(2^n)]=
= [1-((1+i)/2)^(2^(n+1))]
Correção está no sinal marcado com
vermelho!
Mais uma vez agradeço pela solução.
----- Original Message -----
Sent: Sunday, June 08, 2003 9:58 AM
Subject: [obm-l] flw: complexos
Ola pessoal,
Alguem poderia me esclarecer a parte em azul (no corpo da mensagem) da
solucao, o restante entendi perfeitamente:
Ps: Nao encontrei o
remetente da mensagem original no site, mas vamos a questao:
******************************************************************************
Calcule:[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
i = (-1)^(1/2).
Oi Leo,
Sempre que aparecerem
expoentes que são potencias de 2 consecutivas, um
argumento que podemos
fazer eh ver o que acontece qdo multiplicamos a expressao
por um valor que
faz ela se reduzir a uma expressao menor. No caso desse
problema, seja.
T=[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
Entao, usando que (a-b)(a+b)=a^2^-b^2,temos que
[1-((1+i)/2))].T=
=[1-((1+i)/2))].[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2] .[1+((1+i)/2)^4]
.... [1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
=[1-((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^2]
.[1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
=[1-((1+i)/2)^4].
[1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
= ... =
=[1-((1+i)/2)^(2^n)]. [1+((1+i)/2)^(2^n)]=
[Minha duvida] => Nesta passagem em negrito temos uma diferenca
de quadrados, certo ?
Logo por que nao escrever [(1^2) -
((1+i)/2)^(2^n))^2) = 1 - ((1+i)/2)^(2^2n) ?
Ao inves de:
=
[1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]
Nunca estudei inducao matematica, mas acredito que
neste caso foi usado. Pois se eh verdadeiro para n entao tbem eh verdadeiro
para n + 1. Mas nao entendi a algebra na resolucao desta parte associada ao
principio da inducao. Se for possivel explicar agradeco se nao for, vou
estudar o principio da inducao pra entender esta parte.
Logo,
T= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]/[1-((1+i)/2))]
Ainda
podemos simplificar a formula acima. Para n=1, temos
((1+i)/2)^(2^(n+1))=((1+i)/2)^(2^2)=[((1+i)/2)^2]^2=
= (i/2)^2= -1/4.
Então T= (1-
1/4)/[1-((1+i)/2))]=3(1+i)/4.
Para n >=2, temos
((1+i)/2)^(2^(n+1))=[((1+i)/2)^(2^2)]^(2^(n-1))=
= (-1/4)^(2^(n-1))= 1/2^(2^n) e daí
T= (1+
1/2^(2^n))/((1-i)/2)= (1+1/2^(2^n)).(1+i).
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