Re: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de algum ano do IME

["Leonardo" <leosilvas@xxxxxxxxx>]

Obrigado pela solução, muito boa!

----- Original Message -----
From: <yurigomes@zipmail.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, June 07, 2003 9:53 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de algum ano do IME


> Oi Leo,
>  Smepre que aparecerem expoentes que são potências de 2 consecutivas, um
> argumento que podemos fazer é ver o que acontece qdo multiplicamos a
expressão
> por um valor que faz ela se reduzir a uma expressão menor. No caso desse
> problema, seja
>  T=[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
> Então, usando que (a-b)(a+b)=a^2^-b^2, temos que
>  [1-((1+i)/2))].T=
>  =
[1-((1+i)/2))].[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)
^((2)^n)]=
>
=[1-((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
>  = [1-((1+i)/2)^4].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=
>  = ... =
>  = [1-((1+i)/2)^(2^n)].[1+((1+i)/2)^(2^n)]=
>  = [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]
>  Logo,
>   T= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]/[1-((1+i)/2))]
>  Ainda podemos simplificar a fórmula acima. Para n=1, temos
>  ((1+i)/2)^(2^(n+1))=((1+i)/2)^(2^2)=[((1+i)/2)^2]^2=
>  = (i/2)^2= -1/4.
>  Então T= (1- 1/4)/[1-((1+i)/2))]= 3(1+i)/4.
>  Para n >=2, temos
>  ((1+i)/2)^(2^(n+1))=[((1+i)/2)^(2^2)]^(2^(n-1))=
>  = (-1/4)^(2^(n-1))= 1/2^(2^n) e daí
>  T= (1+ 1/2^(2^n))/((1-i)/2)= (1+ 1/2^(2^n)).(1+i).
>  Abraços,
>  Yuri
> -- Mensagem original --
>
> >Será que alguém poderia resolver o seguinte problema:
> >Calcule:
[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]
> >i = (-1)^(1/2).
> >
>
> []'s, Yuri
> ICQ: 64992515
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