Re: [obm-l] flw: complexos

[Claudio Buffara <claudio.buffara@xxxxxxxxxxxx>]

Title: Re: [obm-l] flw: complexos

on 08.06.03 09:58, Faelccmm@aol.com at Faelccmm@aol.com wrote:

> Ola pessoal, 
>
> Alguem poderia me esclarecer a parte em azul (no corpo da mensagem) da solucao, o restante entendi perfeitamente: 
>
> Ps: Nao encontrei o remetente da mensagem original no site, mas vamos a questao: 
>
>
>
>           ****************************************************************************** 
>
>
> Calcule:[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)] 
>
>
> i = (-1)^(1/2). 
>  
>  
>
>
> Oi Leo, 
>
> Sempre que aparecerem expoentes que são potencias de 2 consecutivas, um 
> argumento que podemos fazer eh ver o que acontece qdo multiplicamos a expressao 
> por um valor que faz ela se reduzir a uma expressao menor. No caso desse 
> problema, seja. 
>
>
>  
> T=[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)] 
>
>
> Entao, usando que (a-b)(a+b)=a^2^-b^2,temos que 
>
>
> [1-((1+i)/2))].T= 
>
>
> =[1-((1+i)/2))].[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2] .[1+((1+i)/2)^4] .... [1+((1+i)/2)^((2)^n)]= 
>
>
>  
> =[1-((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^2] .[1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]= 
>
>
>  
> =[1-((1+i)/2)^4]. [1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]= 
>
>
>  
> = ... = 
>
>
>  
> =[1-((1+i)/2)^(2^n)]. [1+((1+i)/2)^(2^n)]= 
>
> [Minha duvida] => Nesta passagem em negrito temos uma diferenca de quadrados, certo ? 
> Logo por que nao escrever [(1^2) - ((1+i)/2)^(2^n))^2) = 1 - ((1+i)/2)^(2^2n) ? 
>
> Ao inves de: 
>  
> = [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))] 
>
> Nunca estudei inducao matematica, mas acredito que neste caso foi usado. Pois se eh verdadeiro para n entao tbem eh verdadeiro para n + 1. Mas nao entendi a algebra na resolucao desta parte associada ao principio da inducao. Se for possivel explicar agradeco se nao for, vou estudar o principio da inducao pra entender esta parte. 
>
> **********
>  
> Oi, Fael:
>
> A expressao tem a forma: [1 - x^(2^n)]*[1 + x^(2^n)]
>
> Logo, eh igual a 1^2 - [x^(2^n)]^2 = 1 - x^(2*(2^n)) = 1 - x^(2^(n+1))
>
> Ja que 2*(2^n) = 2*(2*2*...*2)  (n fatores dentro dos parenteses) =
> 2*2*...*2  (n+1 fatores) = 2^(n+1).
>
> Um abraco,
> Claudio.
>
> *********
>
> Logo, 
>  
>  
> T= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]/[1-((1+i)/2))] 
>
>
> Ainda podemos simplificar a formula acima. Para n=1, temos 
>
>
>  
> ((1+i)/2)^(2^(n+1))=((1+i)/2)^(2^2)=[((1+i)/2)^2]^2= 
>
>
> = (i/2)^2= -1/4. 
>  
>  
> Então T= (1- 1/4)/[1-((1+i)/2))]=3(1+i)/4. 
>
>
>  
> Para n >=2, temos  
>
>
>  
> ((1+i)/2)^(2^(n+1))=[((1+i)/2)^(2^2)]^(2^(n-1))= 
>
>
>  
> = (-1/4)^(2^(n-1))= 1/2^(2^n) e daí 
>
>
>  
> T= (1+ 1/2^(2^n))/((1-i)/2)= (1+1/2^(2^n)).(1+i). 
>
>
>