[obm-l] flw: complexos

[Faelccmm@xxxxxxx]

Ola pessoal,

Alguem poderia me esclarecer a parte em azul (no corpo da mensagem) da solucao, o restante entendi perfeitamente:

Ps: Nao encontrei o remetente da mensagem original no site, mas vamos a questao:



          ******************************************************************************


Calcule:[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]


i = (-1)^(1/2).
 
 


Oi Leo, 

Sempre que aparecerem expoentes que são potencias de 2 consecutivas, um
argumento que podemos fazer eh ver o que acontece qdo multiplicamos a expressao
por um valor que faz ela se reduzir a uma expressao menor. No caso desse
problema, seja.


 
T=[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^4]....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]


Entao, usando que (a-b)(a+b)=a^2^-b^2,temos que 


[1-((1+i)/2))].T=


=[1-((1+i)/2))].[1+((1+i)/2)].[1+((1+i)/2)^2] .[1+((1+i)/2)^4] .... [1+((1+i)/2)^((2)^n)]=


 
=[1-((1+i)/2)^2].[1+((1+i)/2)^2] .[1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=


 
=[1-((1+i)/2)^4]. [1+((1+i)/2)^4] ....[1+((1+i)/2)^((2)^n)]=


 
= ... =


 
=[1-((1+i)/2)^(2^n)]. [1+((1+i)/2)^(2^n)]=

[Minha duvida] => Nesta passagem em negrito temos uma diferenca de quadrados, certo ?
Logo por que nao escrever [(1^2) - ((1+i)/2)^(2^n))^2) = 1 - ((1+i)/2)^(2^2n) ?

Ao inves de:
 
= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]

Nunca estudei inducao matematica, mas acredito que neste caso foi usado. Pois se eh verdadeiro para n entao tbem eh verdadeiro para n + 1. Mas nao entendi a algebra na resolucao desta parte associada ao principio da inducao. Se for possivel explicar agradeco se nao for, vou estudar o principio da inducao pra entender esta parte.
 

Logo, 
 
 
T= [1+((1+i)/2)^(2^(n+1))]/[1-((1+i)/2))]


Ainda podemos simplificar a formula acima. Para n=1, temos


 
((1+i)/2)^(2^(n+1))=((1+i)/2)^(2^2)=[((1+i)/2)^2]^2=


= (i/2)^2= -1/4. 
 
 
Então T= (1- 1/4)/[1-((1+i)/2))]=3(1+i)/4.


 
Para n >=2, temos  


 
((1+i)/2)^(2^(n+1))=[((1+i)/2)^(2^2)]^(2^(n-1))=


 
= (-1/4)^(2^(n-1))= 1/2^(2^n) e daí


 
T= (1+ 1/2^(2^n))/((1-i)/2)= (1+1/2^(2^n)).(1+i).