Re: [obm-l] Problema de Analise

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> Oi Artur.
>
> Vamos analisar o seguinte problema.
>
> Seja M um espaço métrico qualquer que satisfaz a propriedade: se f:M->R é
> uma função contínua então é limitada. Vamos mostrar que M, mesmo que não
> seja de dimensão finita, é totalmente limitado, por contra-posição.
>
> Suponhamos que M não seja totalmente limitado. Existe um r>0 tal que não
se
> pode cobrir M por finitas bolas fechadas de raio r. Podemos encontrar uma
> seqüência de bolas B[x_n, r] tal que x_n não pertence a nenhuma das bolas
> anteriores. Em outros termos, podemos escolher uma seqüência (x_n) em M
tal
> que para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > r.
>
> Agora vamos definir uma função f:M->R contínua que não é limitada.
Definimos
> f(x) = inf{d(x,x_n) : n natural}. Precisamos mostrar que ela é contínua. A
> função pode ser definida também como f(x) = d(x, S) onde S = {x_n : n
> natural}. É um exercício clássico ver que f não só é contínua como também
é
> Lipschitz.

Oi Artur.

Aqui cometi um erro. Essa função não é ilimitada. Mas acho que dá para
corrigir. Só que não vou ver os detalhes agora, pois vai faltar mostrar que
ela é contínua, o que me parece intuitivamente muito claro.

A gente encontra essa seqüência (x_n). Aí tomamos bolas de raio 0 < r' < r/2
centradas em cada um dos x_n. Essas bolas não se interceptam, pela
desigualdade do triângulo é fácil de ver isso. Então tomamos na bola B[x_n,
r'] a função assumindo, num ponto x, o valor n * ( r' - d(x,x_n)). E fora
das bolas a função vale zero - se existir algo fora das bolas. Em cada bola,
me parece que a função vai ser contínua, e portanto contínua em todo M. Há
que se ver os detalhes.

Vou pensar mais sobre o problema.

Abraço,
Duda.

>
> Portanto temos demonstrado o teorema, pois se M não é totalmente limitado
> existe uma função contínua f:M->R que não é limitada.
>
> Claramente esse resultado implica, com você observou, que se toda função
> f:M->R^n contínua é limitada, então M é totalmente limitado. Será que
> podemos assegurar que M seja compacto? Para isso temos de garantir que M
> também seja completo.
>
> Suponhamos por hipótese que M é totalmente limitado mas não completo
> (portanto não compacto). Então existe uma seqüência (x_n) em M de Cauchy
mas
> não convergente. Considere c(M) o completamente de M e z = lim x_n em
c(M).
> Podemos definir uma função f:c(M)\{z}->R por f(x) = 1/d(x, z), essa função
é
> contínua. Agora restringimo-la para M, e ainda teremos uma função
contínua.
> Mas f(x_n) torna-se uma seqüência ilimitada. Portanto f:M->R é contínua
mas
> ilimitada.
>
> Por fim, podemos assegurar que se toda f:M->R contínua sai limitada, então
M
> é um espaço métrico compacto.
>
> Como basta que para toda f contínua f(E) seja limitada para tirarmos que E
é
> compacto, sua segunda pergunta também está respondida afirmativamente,
pois
> ser totalmente limitado é mais forte do que ser limitado.
>
> Espero ter esclarecido a questão com resultados corretos. Eu não os
> conhecia, podem estar errados.
>
> Você está fazendo faculdade de matemática? Sempre suas dúvidas - já faz
> tempo isso - estão em paralelo com meus estudos, como se estivéssemos
> passando pelas mesmas cadeiras juntos. Gosto das suas dúvidas. Vou começar
a
> enviar mais problemas universitários para a lista, acho que muitos de nós
> estamos já na universidade.
>
> Abraço,
> Duda.
>
> From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> > Ola a todos!
> > Hah poucos dias enviei para a lista o seguinte problema de analise:
> > Seja E um subconjunto de R^n tal que toda funcao f:E=>R^m (m fixo),
> continua
> > em E, eh limitada. Entao, E eh compacto.
> > Minha demonstracao eh a seguinte, talvez alguem tenha uma outra:
> >
> > Inicialmente, verificamos que toda funcao de R^n em R^m eh do tipo
> > (f_1,...f_m) onde f_1,...f_m sao funcoes de R^n em R. Eh imediato que f
eh
> > limitada se e somente se todas as f_i o forem. Logo, para demonstrarmos
a
> > proposicao, eh suficiente considerarmos funcoes de E em R. Ou seja, o
> > enunciado original do teorema eh inteiramente equivalente aaquele obtido
> > substituindo-se f:E=>R^m por f:E=>R, qualquer que seja m. Baseados
nisto,
> > vamos mostrar que E eh limitado eh fechado, condicao que, pelo Teorema
de
> > Heine Borel, garante que E seja compacto.
> >
> > Se E nao for limitado, eh entao possivel, mantendo x em E, fazer com que
> ||x||
> > torne-se arbitrariamente grande. Dado que x = (x_1,..x_n), eh entao
> possivel
> > fazer com que para pelo menos uma das componentes de x, digamos x_i, o
> valor
> > de |x_i| torne-se arbitrariamente grande. Definindo-se f:E=>R por f(x) =
> > |x_i|, obtemos uma funcao continua e ilimitada em E, o que contraria a
> > hipotese basica assumida sobre E. Desta contradicao, segue-se que E eh
> > limitado.
> >
> > Suponhamos agora que E nao seja fechado. Feita esta hipotese, existe
entao
> um
> > elemto p em R^n que eh ponto de acumulacao de E mas nao pertence a E.
> > Definamos g:E=> R por g(x) =1/||x-p||. Como p nao pertence a E, g eh
> continua
> > em E. Das propriedades de pontos de acumulacao, segue-se que, escolhido
> > arbitrariamente M>0, existe sempre x em E tal que ||x-p||<1/M, o que
> implica
> > que f(x)>M. Como M eh arbitrario, concluimos que f eh continua e
ilimitada
> em
> > E, contrariando a hipotese basica admitida. Logo, E eh fechado.
> >
> > Temos portanto que E eh limitado eh fechado, logo compacto.
> > Eu tenho uma duvida, serah que existe uma condicao semelhante valida em
> > espacos metricos gerais? Parece-me que nao dah para generalizar, mas nao
> estou
> > certo. Se E eh um subconjunto de um espaco metrico X e apresenta a
> propriedade
> > de que toda funcao continua de E sobre o espaco metrico Y eh limitada,
> entao E
> > eh compacto? Acho que nao. Mas talvez seja verdade  (vou tentar
analisar)
> se
> > admitirmos que, para toda funcao f uniformemente continua em E, f seja
> > totalmente limitada (isto eh, f(E) eh totalmente limitado). Parece um
> problema
> > para o Nicolau.
> > Um abraco
> > Artur
> >
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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