RE: [obm-l] Espaco metrico totalmente limitado

["Artur Costa Steiner" <artur_steiner@xxxxxxx>]

Oi Casagrande,
Muito boa a sua demonstracao, eh exatamente isto. Eu so tenho uma duvida.
Nas provas de que M e totalmente limitado sse toda sequ. do mesmo possuir
uma subseq. De Cauchy, usamos implicitamente o Axioma da Escolha ao
escolhermos as colecoes finitas de bolas abertas, certo? Na prova por
contra-posicao, tambem usamos o Axioma da Escolha ao escolhermos
arbitrariamente os elementos da sequencia gerada, certo? Nao que isto
invalide a prova (se fosse este o caso, invalidariamos automaticamente quase
todos aqueles teoremas sobre cojuntos compactos da Topologia!!), mas acho
que o AE eh usado. 

Agora, um exemplo de uma funcao unformemente continua em um espaco metrico
limitado X mas tal que f(X) nao seja limitado. Eh um tanto artificial, mas
eh matematicamente valido.
Definamos X como sendo R (os reais) com a metrica discreta. Isto eh, a
metrica d nele definida eh tal que d(x1,x2)= 1, se x1 e x2 forem distintos,
e d(x1,x2)=0, se x1= x2.  Eh imediato que todo conjunto de X e o proprio X
sao automaticamente limitados. Como nesta metrica X nao tem pontos de
acumulacao (daih o nome "metrica discreta"), segue-se que qualquer funcao
definida em X e com valores em um espaco metrico Y, seja Y qual for, e
uniformemente continua. Definamos Y como R, R agora com a topologia usual,
ditada pela metrica Euclidiana, e definamos f:X=>Y de forma bem simples, por
exemplo f(x) = x. Temos entao que f eh uniformemente  continua no espaco
metrico limitado X, mas f(X) eh ilimitado, visto ser o proprio R com a
metrica usual. 

Uma outra demonstracao de que se f:X=>Y  eh uniform. continua em um espaco
metrico totalmente limitado X, entao f(X)eh totalmente limitado, pode tambem
ser dada com base nas definicoes.
Dado qualquer eps>0, existe, pela continuidade uniforme de f, delta>0 tal
que Dy(f(x1), f(x2))  < eps para todos x1 e x2 em X tais que Dx(x1,
x2)<delta. Aqui, Dx e Dy sao  as metricas definidas em X e Y,
respectivamente. Por ser total. limitado, X eh coberto por uma colecao
finita {B_i} de bolas abertas de raio delta/2. Temos entao que f(X) e dado
pela uniao dos conjuntos f(B_i), i=1,...n. Fixemos um destes f(B_i) e sejam
y1 e y2 a ele pertencentes. Existem entao x1 e x2 em B_i tais que y1= f(x1)
e y2= f(x2). Logo, Dx(x1, x2)<delta, condicao que, face aa cont. uniforme de
f, acarreta que Dy(f(x1), f(x2)) = Dy(y1,y2)<eps. Isto nos mostra que f(B_i)
estah contido em uma bola aberta de raio eps. Como isto vale para todos os
f(B_i), i=1,...n, concluimos que f(X) eh coberto por uma colecao finita de
bolas abertas de raio eps. E como eps eh arbitrario, fica demonstrado que
f(X) eh totalmente limitado. 
Mas uma vez que tenhamos demonstrado o outro teorema, fica realmente mais
simples apresentar a sua demonstracao, que eh perfeita.  
Um grande abraco.
Artur

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