Re: [obm-l] Espaco metrico totalmente limitado

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Artur.

Definição. Um espaço métrico M é totalmente limitado se para todo r>0
existem elementos x_1, x_2, ..., x_n de M tal que M = B[x_1, r] U ... U
B[x_n, r]. (onde B[x_0, r] = { x : d(x, x_0) <= r })

Seja M um espaço métrico totalmente limitado e (x_n) uma seqüência em M.
Vamos mostrar que essa seqüência possui uma subseqüência de Cauchy.

Se a seqüência assumir somente finitos valores, um desses valores se
repetirá infinitamente, e poderemos tomar uma subseqüência constante, e ela
será de Cauchy.

Suponhamos que a seqüência assuma infinitos valores. Como M é totalmente
limitado podemos cobri-lo com um número finito de bolas fechadas de raio 1.
Alguma dessas bolas terá de conter infinitos termos da seqüência, seja
B[y_1, 1] essa bola. Como M é totalmente limitado podemos cobrir-lo com um
número finito de bolas fechadas de raio 1/2. Alguma dessas bolas
(interseccionada com B[y_1, 1]) terá de conter infinitos termos da
seqüência, seja B[y_2, 1/2] essa bola. Prosseguimos indutivamente e
mostramos a existência de uma bola B[y_n, 1/n] tal que

B_n = B[y_1, 1] \inter B[y_2, 1/2] \inter ... \inter B[y_n, 1/n]

contem infinitos termos da seqüência (x_n). Agora definimos uma subseqüência
(z_n) de (x_n) tal que cada z_n pertence a B_n. É fácil de ver que (z_n)
pode ser uma subseqüência, i.e., que z_i=x_(n_i) e n_1 < n_2 < ... Essa
seqüência (z_n) é de Cauchy, pois para todo e > 0 existe N tal que 1/N < e,
então se n, m >= N os termos z_n e z_m pertencerão a B[y_N, 1/N], logo
d(z_n, z_m) <= 1/N < e.

Seja M um espaço métrico onde toda seqüência possui subseqüência de Cauchy.
Vamos mostrar que ele é totalmente limitado, por contra-posição.

Suponhamos que M não seja totalmente limitado, e vamos mostrar que existe
uma seqüência sem subseqüência de Cauchy.

Como M não é totalmente limitado, existe um r>0 de forma que M não se cobre
com um número finito de bolas fechadas de raio r. Escolha um ponto x_1
qualquer em M. Sabemos que B[x_1, r] não cobre M, portanto podemos escolher
um ponto x_2 em M \ B[x_1, r]. Sabemos que B[x_1, r] U B[x_2, r] não cobre
M, portanto podemos escolher um ponto x_3 em M \ B[x_1, r] U B[x_2, r].
Continuamos indutivamente, seguindo esse claro padrão, escolhendo pontos e
formando uma seqüência (x_n) em M. Essa seqüência não possui subseqüência de
Cauchy, pois para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > r onde r>0 está fixo.

Ou seja, seu resultado está confirmado.

Seja f:X->Y uma função uniformemente contínua e X totalmente limitado. Vamos
mostrar que f(X) também é totalmente limitado, usando o resultado acima.
Seja (f(x_n)) uma seqüência qualquer em f(X). Como X é totalmente limitado,
existe uma subseqüência (z_n) de (x_n) de Cauchy. Como f é uniformemente
contínua, se é dado e>0 existe d>0 tal que d(w,y)<d então d(f(w),f(y))<e.
Existe um N tal que se n,m > N então d(z_n, z_m)<d, donde segue que
d(f(z_n), f(z_m))<e. Portanto a subseqüência (f(z_n)) é de Cauchy e f(X) é
totalmente limitado.

Não consegui pensar num exemplo de f:X->X uniformemente contínua tal que X é
limitado mas f(X) não. Mostre-me um exemplo.

Achei interessante a sua caracterização dos espaços métricos totalmente
limitados, e também nunca havia lido ela em lugar algum. A definição de
compacto é que toda seqüência possui uma subseqüência convergente (portanto
de Cauchy) mas ainda que o limite existe e pertença ao conjunto. Ou seja, a
diferença entre compacto e totalmente limitado é só na questão de completude
(toda seqüência de Cauchy converge no espaço). Ser totalmente limitado é uma
condição ligeiramente mais fraca que ser compacto. Se um espaço métrico M é
totalmente limitado, seu completamento é compacto.

Espero ter auxiliado você e ajudado-nos a esclarecer um pouco essa questões.
Aguardo sua resposta.

Abraço,
Duda.


From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> Boa tarde.
> Hah algum tempo conclui que um espaco metrico eh totalmente limitado se e
> somente se toda sequencia do mesmo contiver uma subsequencia de Cauchy. Eu
> acho um tanto estranho que nenhum dos livros que possuo apresente esta
> conclusao, que me parece interessante.
>
> Outra conclusao que me parece interessante eque tambem quase nunca eh
citada
> eh que se f:X=>Y for uniformemente continua em um espaco metrico
totalmente
> limitado X entao f(X)eh um subconjunto totalmente limitado de Y. Nao eh
> entretanto verdade que se f for ainda uniformemente continua em X e X seja
> apenas limitado, entao f(E) eh limitado.
> Artur
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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