Re: [obm-l] Problema de Analise

[Artur Costa Steiner <artur_steiner@xxxxxxx>]

Ola a todos!
Hah poucos dias enviei para a lista o seguinte problema de analise:
Seja E um subconjunto de R^n tal que toda funcao f:E=>R^m (m fixo), continua
em E, eh limitada. Entao, E eh compacto.
Minha demonstracao eh a seguinte, talvez alguem tenha uma outra:

Inicialmente, verificamos que toda funcao de R^n em R^m eh do tipo
(f_1,...f_m) onde f_1,...f_m sao funcoes de R^n em R. Eh imediato que f eh
limitada se e somente se todas as f_i o forem. Logo, para demonstrarmos a
proposicao, eh suficiente considerarmos funcoes de E em R. Ou seja, o
enunciado original do teorema eh inteiramente equivalente aaquele obtido
substituindo-se f:E=>R^m por f:E=>R, qualquer que seja m. Baseados nisto,
vamos mostrar que E eh limitado eh fechado, condicao que, pelo Teorema de
Heine Borel, garante que E seja compacto.

Se E nao for limitado, eh entao possivel, mantendo x em E, fazer com que ||x||
torne-se arbitrariamente grande. Dado que x = (x_1,..x_n), eh entao possivel
fazer com que para pelo menos uma das componentes de x, digamos x_i, o valor
de |x_i| torne-se arbitrariamente grande. Definindo-se f:E=>R por f(x) =
|x_i|, obtemos uma funcao continua e ilimitada em E, o que contraria a
hipotese basica assumida sobre E. Desta contradicao, segue-se que E eh
limitado.

Suponhamos agora que E nao seja fechado. Feita esta hipotese, existe entao um
elemto p em R^n que eh ponto de acumulacao de E mas nao pertence a E.
Definamos g:E=> R por g(x) =1/||x-p||. Como p nao pertence a E, g eh continua
em E. Das propriedades de pontos de acumulacao, segue-se que, escolhido
arbitrariamente M>0, existe sempre x em E tal que ||x-p||<1/M, o que implica
que f(x)>M. Como M eh arbitrario, concluimos que f eh continua e ilimitada em
E, contrariando a hipotese basica admitida. Logo, E eh fechado.

Temos portanto que E eh limitado eh fechado, logo compacto. 
Eu tenho uma duvida, serah que existe uma condicao semelhante valida em
espacos metricos gerais? Parece-me que nao dah para generalizar, mas nao estou
certo. Se E eh um subconjunto de um espaco metrico X e apresenta a propriedade
de que toda funcao continua de E sobre o espaco metrico Y eh limitada, entao E
eh compacto? Acho que nao. Mas talvez seja verdade  (vou tentar analisar) se
admitirmos que, para toda funcao f uniformemente continua em E, f seja
totalmente limitada (isto eh, f(E) eh totalmente limitado). Parece um problema
para o Nicolau.
Um abraco
Artur       


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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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