Re: [obm-l] Problema de Analise

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Oi Artur.

Vamos analisar o seguinte problema.

Seja M um espaço métrico qualquer que satisfaz a propriedade: se f:M->R é
uma função contínua então é limitada. Vamos mostrar que M, mesmo que não
seja de dimensão finita, é totalmente limitado, por contra-posição.

Suponhamos que M não seja totalmente limitado. Existe um r>0 tal que não se
pode cobrir M por finitas bolas fechadas de raio r. Podemos encontrar uma
seqüência de bolas B[x_n, r] tal que x_n não pertence a nenhuma das bolas
anteriores. Em outros termos, podemos escolher uma seqüência (x_n) em M tal
que para todo n <> m temos d(x_n, x_m) > r.

Agora vamos definir uma função f:M->R contínua que não é limitada. Definimos
f(x) = inf{d(x,x_n) : n natural}. Precisamos mostrar que ela é contínua. A
função pode ser definida também como f(x) = d(x, S) onde S = {x_n : n
natural}. É um exercício clássico ver que f não só é contínua como também é
Lipschitz.

Portanto temos demonstrado o teorema, pois se M não é totalmente limitado
existe uma função contínua f:M->R que não é limitada.

Claramente esse resultado implica, com você observou, que se toda função
f:M->R^n contínua é limitada, então M é totalmente limitado. Será que
podemos assegurar que M seja compacto? Para isso temos de garantir que M
também seja completo.

Suponhamos por hipótese que M é totalmente limitado mas não completo
(portanto não compacto). Então existe uma seqüência (x_n) em M de Cauchy mas
não convergente. Considere c(M) o completamente de M e z = lim x_n em c(M).
Podemos definir uma função f:c(M)\{z}->R por f(x) = 1/d(x, z), essa função é
contínua. Agora restringimo-la para M, e ainda teremos uma função contínua.
Mas f(x_n) torna-se uma seqüência ilimitada. Portanto f:M->R é contínua mas
ilimitada.

Por fim, podemos assegurar que se toda f:M->R contínua sai limitada, então M
é um espaço métrico compacto.

Como basta que para toda f contínua f(E) seja limitada para tirarmos que E é
compacto, sua segunda pergunta também está respondida afirmativamente, pois
ser totalmente limitado é mais forte do que ser limitado.

Espero ter esclarecido a questão com resultados corretos. Eu não os
conhecia, podem estar errados.

Você está fazendo faculdade de matemática? Sempre suas dúvidas - já faz
tempo isso - estão em paralelo com meus estudos, como se estivéssemos
passando pelas mesmas cadeiras juntos. Gosto das suas dúvidas. Vou começar a
enviar mais problemas universitários para a lista, acho que muitos de nós
estamos já na universidade.

Abraço,
Duda.

From: "Artur Costa Steiner" <artur_steiner@usa.net>
> Ola a todos!
> Hah poucos dias enviei para a lista o seguinte problema de analise:
> Seja E um subconjunto de R^n tal que toda funcao f:E=>R^m (m fixo),
continua
> em E, eh limitada. Entao, E eh compacto.
> Minha demonstracao eh a seguinte, talvez alguem tenha uma outra:
>
> Inicialmente, verificamos que toda funcao de R^n em R^m eh do tipo
> (f_1,...f_m) onde f_1,...f_m sao funcoes de R^n em R. Eh imediato que f eh
> limitada se e somente se todas as f_i o forem. Logo, para demonstrarmos a
> proposicao, eh suficiente considerarmos funcoes de E em R. Ou seja, o
> enunciado original do teorema eh inteiramente equivalente aaquele obtido
> substituindo-se f:E=>R^m por f:E=>R, qualquer que seja m. Baseados nisto,
> vamos mostrar que E eh limitado eh fechado, condicao que, pelo Teorema de
> Heine Borel, garante que E seja compacto.
>
> Se E nao for limitado, eh entao possivel, mantendo x em E, fazer com que
||x||
> torne-se arbitrariamente grande. Dado que x = (x_1,..x_n), eh entao
possivel
> fazer com que para pelo menos uma das componentes de x, digamos x_i, o
valor
> de |x_i| torne-se arbitrariamente grande. Definindo-se f:E=>R por f(x) =
> |x_i|, obtemos uma funcao continua e ilimitada em E, o que contraria a
> hipotese basica assumida sobre E. Desta contradicao, segue-se que E eh
> limitado.
>
> Suponhamos agora que E nao seja fechado. Feita esta hipotese, existe entao
um
> elemto p em R^n que eh ponto de acumulacao de E mas nao pertence a E.
> Definamos g:E=> R por g(x) =1/||x-p||. Como p nao pertence a E, g eh
continua
> em E. Das propriedades de pontos de acumulacao, segue-se que, escolhido
> arbitrariamente M>0, existe sempre x em E tal que ||x-p||<1/M, o que
implica
> que f(x)>M. Como M eh arbitrario, concluimos que f eh continua e ilimitada
em
> E, contrariando a hipotese basica admitida. Logo, E eh fechado.
>
> Temos portanto que E eh limitado eh fechado, logo compacto.
> Eu tenho uma duvida, serah que existe uma condicao semelhante valida em
> espacos metricos gerais? Parece-me que nao dah para generalizar, mas nao
estou
> certo. Se E eh um subconjunto de um espaco metrico X e apresenta a
propriedade
> de que toda funcao continua de E sobre o espaco metrico Y eh limitada,
entao E
> eh compacto? Acho que nao. Mas talvez seja verdade  (vou tentar analisar)
se
> admitirmos que, para toda funcao f uniformemente continua em E, f seja
> totalmente limitada (isto eh, f(E) eh totalmente limitado). Parece um
problema
> para o Nicolau.
> Um abraco
> Artur
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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