Re: [obm-l] Re: soma dos quadrados

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, May 25, 2003 at 06:31:17PM -0300, Eduardo Botelho wrote:
> 
> Essa questão apareceu há umas duas semanas. Estive olhando as mensagens 
> agora com um pouco mais de calma e fiquei curioso.
> 
> Nicolau C. Saldanha wrote:
> 
> >Seja f(n) = 12 + 22 + ... + n2, n > 0

Aqui havia uns ^ para indicar 'elevado a' que foram comidos por algum programa;
o correto seria

f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2, n > 0

> >Como discutido em mensagem anterior (que falava da soma dos cubos),
> >esta função deve ser definida para inteiros negativos assim:
> >
> >f(n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (n+1)^2 = - f(-n-1)
> >
> >Esta é a única forma de termos f(0) = 0 e f(n) = f(n-1) + n^2 para todo n.
> >
>  por que f(0) = 0? Isso está sendo definido agora para satisfazer a 
>  identidade?

Sim. Para satisfazer a identidade f(n) = f(n-1) + n^2 e f(1) = 1.
Tome n = 1: f(1) = f(0) + 1.

> Se a resposta for sim, poderíamos definir f nos inteiros negativos como 
> f(n) = -(-1)^2 - ... -(n)^2   e definir f(0) = 0. Assim também teríamos 
> f(0) = 0 e f(n) = f(n-1) + n^2 para todo n.

Não. Fazendo n = 0 na identidade temos f(0) = f(-1) + 0^2 donde f(0) = f(-1).

> Claro que não chegaríamos a n(n+1)(2n+1)/6, pois -1 nem é raiz de f. O 
> que quero saber é de onde veio a idéia de definir f desse jeito.

É a única forma de satisfazer f(n) = f(n-1) + n^2 e f(1) = 1.

> Ah.. e não achei a "mensagem anterior" da qual o Nicolau fala. Pelo 
> menos não tão recente.

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00623.html
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00632.html
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200304/msg00733.html

[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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