Re: [obm-l] soma dos quadrados

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, May 08, 2003 at 12:02:14AM -0300, Gustavo Vasconcelos wrote:
> Como demostrar ou onde encontro  a domostração da formúla
> da soma dos quadrados dos N primeiros numeros naturais? 

Este já recebeu várias respostas, uma delas minha, mas não resisto
a falar um pouco mais. Vão aí duas novas soluções. Defina

f(n) = 1^2 + 2^2 + ... + n^2, n > 0

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Como discutido em mensagem anterior (que falava da soma dos cubos),
esta função deve ser definida para inteiros negativos assim:

f(n) = - (-1)^2 - (-2)^2 - ... - (n+1)^2 = - f(-n-1)

Esta é a única forma de termos f(0) = 0 e f(n) = f(n-1) + n^2 para todo n.

Mas agora sabemos que a resposta é um polinômio de grau 3
e temos f(0) = f(-1) = 0 e, aplicando a identidade f(n) = -f(-n-1)
para n = -1/2, f(-1/2) = 0. Assim as raízes de f são 0, -1 e -1/2
e portanto para alguma constante C temos f(n) = C n(n+1)(2n+1).
Basta agora ver que f(1) = 1 para termos f(n) = n(n+1)(2n+1)/6.

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Agora uma solução geométrica: f(n) é o número de cubinhos iunitários
em uma pirâmide com n^2 cubinhos na base, (n-1)^2 no segundo andar
e assim por diante, como na primeira figura. Ou seja, f(n) é o volume
deste sólido. Vamos calcular este volume cortando em pedaços.

Primeiro temos uma grande pirâmide de base quadrada de lado n e altura n
de volume n^3/3 (em vermelho na segunda figura).
Depois temos n complementos de um cubinho e uma pirâmide, de volume 2/3 cada
(em azul na 3a figura, ao longo da diagonal)
Finalmente temos 2(1 + 2 + ... + (n-1)) = n(n-1) meio cubos, de volume
1/2 cada (em verde na 4a figura).

Somando tudo temos

f(n) = (n^3/3) + 2n/3 + n(n-1)/2 = (2n^3 + 3n^2 + n)/6 = n(n+1)(2n+1)/6.

[]s, N.

PS: As duas últimas figuras vão em outra mensagem.

q1.png

q2.png