[obm-l] 2 Problemas

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

Caros colegas da lista,

tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O
segundo é sobre polinômios. Lá vão eles:

Problema 1.  O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática,
deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou
seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois
estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares.
Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que
partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons
resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais
natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre
estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de
estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão
finita.

A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato,
pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de
características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.),
se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí
retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua
num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande
visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na
minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica
que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino
ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata
dessas experiências?

Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?

Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de
fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o
máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta
simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo.

Um Abraço a todos,
Duda.

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