Re: [obm-l] 2 Problemas

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Duda,
   O problema 2 e' realmente muito interessante. Acho que para todo n o
maximo e' atingido pelo n-esimo polinomio de Chebyshev P_n(x) (que e'
definido por cos(nx)=P_n(cos(x)), e satisfaz a recorrencia
P_(n+1)(x)=2x.P_n(x)-P_(n-1)(x), P_0(x)=1, P_1(x)=x). O valor da soma dos
modulos dos coeficientes de P_n e' s_n:=((1+raiz(2))^n+(1-raiz(2))^n)/2
(note que (s_n) satisfaz s_(n+1)=2.s_n+s_(n-1)).
   Os polinomios de Chebyshev sao extremais em muitos sentidos, sendo o mais
popular e mais importante o seguinte: se P e' um polinomio real de grau n>=1
tal que |P(x)|<=1 para -1<=x<=1, entao o coeficiente lider (de x^n) de P tem
modulo no maximo 2^(n-1), que e' atingido por P_n. E' um bom exercicio
provar isso (Sugestao: P_n(x) tem modulo 1 para os seguintes n+1 valores de
x no intervalo [-1,1]: cos(k.pi/n), com 0<=k<=n).
   Usando esse resultado (e a prova dele), nao e' muito dificil mostrar que
a soma dos modulos dos coeficientes de um polinomio P(x) de grau n tal que
|P(x)|<=1 para -1<=x<=1 e' no maximo s_n+2.s_(n-1)<2.s_n (exercicio). Eu
acho que sei provar que o maximo de fato e' s_n, mas isso da' mais trabalho.
   Abracos,
           Gugu

    
>
>Caros colegas da lista,
>
>tenho dois problemas a propor. O primeiro é filosófico e pedagógico. O
>segundo é sobre polinômios. Lá vão eles:
>
>Problema 1.  O que vocês acham sobre o método de ensino da matemática,
>deve-se começar pelo concreto e ir em direção ao abstrato mais geral, ou
>seguir o caminho inverso? Por exemplo, estudar topologia geral depois
>estudar topologia no R^n e em seguida topologia R, como coisas particulares.
>Ou começar pelo R, depois R^n e a visão mais geral. Eu tenho a impressão que
>partir de idéias muito abstratas e gerais é uma abordagem que não dá bons
>resultados, pois começa-se a partir de um ponto onde a confusão é muito mais
>natural de acontecer. Particularmente, eu nunca comecei desse modo, sempre
>estudei as coisas na ordem usual. O Halmos, por exemplo, defende a idéia de
>estudar espaços de Hilbert simultaneamente a espaços vetoriais de dimensão
>finita.
>
>A ordem de criação da matemática é do mais concreto para o mais abstrato,
>pelo que compreendo. Depois que se viram muitas estruturas de
>características similares (espaços vetoriais com certas propriedades, p.e.),
>se retira uma noção mais geral e abstrata (espaços de Hilbert) e daí
>retiram-se propriedades mais fracas mas muito gerais. E a teoria continua
>num crescendum, até que, tavez, todos os campos se unifiquem numa grande
>visão, essa é a minha esperança. A criação da matemática, pelo que tenho na
>minha memória, segue a direção concreto --> abstrato. Mas isso não implica
>que o ensino deva seguir essa mesma direção. Existem experiências de ensino
>ou alguém já estudou algum assunto seguindo a ordem inversa? O que relata
>dessas experiências?
>
>Problema 2. Se um polinômio p(x) de grau n (particularmente gostaria de
>saber sobre o caso n=3) é tal que |p(t)| <= 1 para |t| <= 1, então o que
>podemos dizer sobre os coeficientes de p(x)? Qual o máximo módulo que eles
>podem ter? E sobre a soma em módulo dos coeficientes, qual o máximo?
>
>Este problema me surgiu na aula de Análise no R^n. É certo que tal máximo de
>fato existe, pois todas as normas em R^n são equivalentes, mas determinar o
>máximo me parece um problema interessante. Não sei se ele tem uma resposta
>simples, acho que não, mas pode-se fazer algumas estimativas do máximo.
>
>Um Abraço a todos,
>Duda.
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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