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Re: [obm-l] Problemas em Aberto
Oi, Gugu:
Vou seguir sua sugestão e ver se consigo fazer o da Eureka.
Também vou dar uma pensada na generalização do no. 9. Talvez dê pra provar
que, apesar do numerador crescer, a representação Q-esimal (supondo R = P/Q,
com 0 < P < Q e (P,Q) = 1) jamais se torna periódica.
No caso da sua demonstração, talvez dê pra estreitar a desigualdade:
|S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)
de forma que no fim também se chegue a algo que tende a zero qaundo m ->
infinito.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, April 14, 2003 3:06 AM
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto
> Caro Claudio,
> Eu tinha proposto esse problema da Eureka para uma IMO antiga, mas nao
> entrou... Tente primeiro colocar o triangulo com coordenadas racionais no
> plano com um dos lados no eixo x e depois tente aplicar uma rotacao
> conveniente (multiplicar por um complexo de modulo 1 com coordenadas
> racionais conveniente). Um pouco de aritmetica em Z[i] ajuda...
> Sobre o problema 9, eu nao vejo como as solucoes se generalizam para R
> racional... Os numeradores podem ficar grandes...
> Abracos,
> Gugu
>
> >
> >Oi, Gugu:
> >
> >O no. 7 foi baseado num problema da Eureka, mas eu acabei de ver onde
errei.
> >O problema original eh:
> >
> >"Um triangulo tem os lados de medidas inteiras e area racional. Prove que
> >ele eh congruente a um triangulo cujos vertices tem coordenadas
inteiras".
> >
> >Eu assumi, erroneamente, que um dos lados do triangulo de reticulado
(essa
> >eh a traducao correta de "lattice triangle"?) poderia ser paralelo a um
dos
> >eixos coordenados, de forma que o pe' da altura relativa a este lado
teria
> >coordenadas inteiras. O seu contra-exemplo mostra que esta hipotese nao
eh
> >valida em geral.
> >
> >Um triangulo de reticulado congruente ao seu teria como vertices:
> >(0,0), (15,8), (48,64) ==> nenhum lado eh paralelo aos eixos.
> >
> >De qualquer forma, fica ai o enunciado do problema original. Ao que me
> >consta, a Eureka ainda nao recebeu uma solucao para este.
> >
> >*****
> >
> >A solucao que eu tinha imaginado pro no. 9 eh:
> >
> >O numero S, quando expresso na base K eh igual a:
> >0,100100001000000100000000100..., ou seja, uma K-esimal infinita e nao
> >periodica. Logo, S eh irracional.
> >
> >De qualquer forma, ambas as solucoes so facilmente generalizaveis para o
> >caso de:
> >SOMA(n>=1) R^(n^2), onde R eh um racional entre 0 e 1.
> >
> >
> >Um abraco,
> >Claudio.
> >
> >
> >on 12.04.03 02:50, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
> >wrote:
> >
> >>>
> >>> 6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal
que:=20
> >>>
> >>> lim ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20
> >>> e
> >>> lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0
> >>>
> >>
> >> Existem muitas, como X_n=2^(raiz(log(n)), ou X_n=(log(n))^log(log(n)).
> >>
> >>> *********
> >>>
> >>> 7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional.
Prove =
> >>> que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura =
> >>> est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo.
> >>>
> >>
> >> Parece que isso nao esta' certo. O triangulo de lados 17, 65 e 80 tem
area
> >> 288 e alturas 576/17, 576/65 e 36/5, que nao sao inteiras...
> >>
> >>> *********
> >>>
> >>> 9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20
> >>> infinito
> >>> Seja S =3D SOMAT=D3RIO 1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16
+ =
> >>> ...
> >>> n =3D 1
> >>> Prove que S =E9 irracional.
> >>>
> >>
> >> Se x=p/q e' racional e r/s e' outro racional diferente de x entao
> >> |x-r/s|=|(ps-qr)/qs|>=1/qs, ou seja, s|x-r/s|>=1/q.
> >> Por outro lado, soma(n=1 ate' m)(1/K^(n^2)) e' um racional com
denominador
> >> (divisor de) K^(m^2), digamos p/K^(m^2), e
> >> |S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)=2/K^((m+1)^2), mas
> >> K^(m^2).2/K^((m+1)^2)=2/K^(2m+1) tende a 0 quando m tende a infinito, e
> >> portanto S nao pode ser racional.
> >>
> >> Abracos,
> >> Gugu
> >>
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> >> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >> O administrador desta lista ? <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >>
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> >>
> >
> >=========================================================================
> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> >=========================================================================
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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