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Re: [obm-l] Problemas em Aberto

To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto
From: Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>
Date: Tue, 15 Apr 2003 17:00:54 -0300 (EST)
In-Reply-To: <01b901c302c2$3db52ae0$3300c57d@bovespa.com> from "Cláudio $Prática$" at Apr 14, 3 05:12:52 pm
Reply-To: obm-l@xxxxxxxxxxxxxx
Sender: owner-obm-l@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

   Oi Claudio,
   Na desigualdade |S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...) e'
importante o fato de que nao so' o lado direito tende a zero, mas tende a
zero mais rapido que 1/K^(m^2) (o inverso do denominador da fracao que
aparece do lado esquerdo). E' isso que eu acho que se torna dificil no caso
racional geral (embora eu nao tenha duvidas de que no fim o resultado deve
ser sempre irracional, e mesmo transcendente).
   Abracos,
           Gugu
>
>Oi, Gugu:
>
>Vou seguir sua sugestão e ver se consigo fazer o da Eureka.
>
>Também vou dar uma pensada na generalização do no. 9. Talvez dê pra provar
>que, apesar do numerador crescer, a representação Q-esimal (supondo R = P/Q,
>com 0 < P < Q e (P,Q) = 1) jamais se torna periódica.
>
>No caso da sua demonstração, talvez dê pra estreitar a desigualdade:
>|S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)
>de forma que no fim também se chegue a algo que tende a zero qaundo m ->
>infinito.
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: "Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira" <gugu@impa.br>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Monday, April 14, 2003 3:06 AM
>Subject: Re: [obm-l] Problemas em Aberto
>
>
>>    Caro Claudio,
>>    Eu tinha proposto esse problema da Eureka para uma IMO antiga, mas nao
>> entrou... Tente primeiro colocar o triangulo com coordenadas racionais no
>> plano com um dos lados no eixo x e depois tente aplicar uma rotacao
>> conveniente (multiplicar por um complexo de modulo 1 com coordenadas
>> racionais conveniente). Um pouco de aritmetica em Z[i] ajuda...
>>    Sobre o problema 9, eu nao vejo como as solucoes se generalizam para R
>> racional... Os numeradores podem ficar grandes...
>>    Abracos,
>>            Gugu
>>
>> >
>> >Oi, Gugu:
>> >
>> >O no. 7 foi baseado num problema da Eureka, mas eu acabei de ver onde
>errei.
>> >O problema original eh:
>> >
>> >"Um triangulo tem os lados de medidas inteiras e area racional. Prove que
>> >ele eh congruente a um triangulo cujos vertices tem coordenadas
>inteiras".
>> >
>> >Eu assumi, erroneamente, que um dos lados do triangulo de reticulado
>(essa
>> >eh a traducao correta de "lattice triangle"?) poderia ser paralelo a um
>dos
>> >eixos coordenados, de forma que o pe' da altura relativa a este lado
>teria
>> >coordenadas inteiras. O seu contra-exemplo mostra que esta hipotese nao
>eh
>> >valida em geral.
>> >
>> >Um triangulo de reticulado congruente ao seu teria como vertices:
>> >(0,0), (15,8), (48,64) ==> nenhum lado eh paralelo aos eixos.
>> >
>> >De qualquer forma, fica ai o enunciado do problema original. Ao que me
>> >consta, a Eureka ainda nao recebeu uma solucao para este.
>> >
>> >*****
>> >
>> >A solucao que eu tinha imaginado pro no. 9 eh:
>> >
>> >O numero S, quando expresso na base K eh igual a:
>> >0,100100001000000100000000100..., ou seja, uma K-esimal infinita e nao
>> >periodica. Logo, S eh irracional.
>> >
>> >De qualquer forma, ambas as solucoes so facilmente generalizaveis para o
>> >caso de:
>> >SOMA(n>=1) R^(n^2), onde R eh um racional entre 0 e 1.
>> >
>> >
>> >Um abraco,
>> >Claudio.
>> >
>> >
>> >on 12.04.03 02:50, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
>> >wrote:
>> >
>> >>>
>> >>> 6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal
>que:=20
>> >>>
>> >>> lim  ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20
>> >>> e
>> >>> lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0
>> >>>
>> >>
>> >> Existem muitas, como X_n=2^(raiz(log(n)), ou X_n=(log(n))^log(log(n)).
>> >>
>> >>> *********
>> >>>
>> >>> 7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional.
>Prove =
>> >>> que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura =
>> >>> est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo.
>> >>>
>> >>
>> >> Parece que isso nao esta' certo. O triangulo de lados 17, 65 e 80 tem
>area
>> >> 288 e alturas 576/17, 576/65 e 36/5, que nao sao inteiras...
>> >>
>> >>> *********
>> >>>
>> >>> 9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20
>> >>> infinito
>> >>> Seja S  =3D  SOMAT=D3RIO  1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16
>+ =
>> >>> ...
>> >>> n =3D 1
>> >>> Prove que S =E9 irracional.
>> >>>
>> >>
>> >> Se x=p/q e' racional e r/s e' outro racional diferente de x entao
>> >> |x-r/s|=|(ps-qr)/qs|>=1/qs, ou seja, s|x-r/s|>=1/q.
>> >> Por outro lado, soma(n=1 ate' m)(1/K^(n^2)) e' um racional com
>denominador
>> >> (divisor de) K^(m^2), digamos p/K^(m^2), e
>> >> |S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)=2/K^((m+1)^2), mas
>> >> K^(m^2).2/K^((m+1)^2)=2/K^(2m+1) tende a 0 quando m tende a infinito, e
>> >> portanto S nao pode ser racional.
>> >>
>> >> Abracos,
>> >> Gugu
>> >>
>=========================================================================
>> >> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >> O administrador desta lista ? <nicolau@mat.puc-rio.br>
>> >>
>=========================================================================
>> >>
>> >
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>> >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> >O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>> >=========================================================================
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>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
>=========================================================================

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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