Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Caro Claudio,
   Eu tinha proposto esse problema da Eureka para uma IMO antiga, mas nao
entrou... Tente primeiro colocar o triangulo com coordenadas racionais no
plano com um dos lados no eixo x e depois tente aplicar uma rotacao
conveniente (multiplicar por um complexo de modulo 1 com coordenadas
racionais conveniente). Um pouco de aritmetica em Z[i] ajuda...
   Sobre o problema 9, eu nao vejo como as solucoes se generalizam para R
racional... Os numeradores podem ficar grandes... 
   Abracos,
           Gugu  

>
>Oi, Gugu:
>
>O no. 7 foi baseado num problema da Eureka, mas eu acabei de ver onde errei.
>O problema original eh:
>
>"Um triangulo tem os lados de medidas inteiras e area racional. Prove que
>ele eh congruente a um triangulo cujos vertices tem coordenadas inteiras".
>
>Eu assumi, erroneamente, que um dos lados do triangulo de reticulado (essa
>eh a traducao correta de "lattice triangle"?) poderia ser paralelo a um dos
>eixos coordenados, de forma que o pe' da altura relativa a este lado teria
>coordenadas inteiras. O seu contra-exemplo mostra que esta hipotese nao eh
>valida em geral.
>
>Um triangulo de reticulado congruente ao seu teria como vertices:
>(0,0), (15,8), (48,64) ==> nenhum lado eh paralelo aos eixos.
>
>De qualquer forma, fica ai o enunciado do problema original. Ao que me
>consta, a Eureka ainda nao recebeu uma solucao para este.
>
>*****
>
>A solucao que eu tinha imaginado pro no. 9 eh:
>
>O numero S, quando expresso na base K eh igual a:
>0,100100001000000100000000100..., ou seja, uma K-esimal infinita e nao
>periodica. Logo, S eh irracional.
>
>De qualquer forma, ambas as solucoes so facilmente generalizaveis para o
>caso de:
>SOMA(n>=1) R^(n^2), onde R eh um racional entre 0 e 1.
>
>
>Um abraco,
>Claudio.
>
>
>on 12.04.03 02:50, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira at gugu@impa.br
>wrote:
>
>>> 
>>> 6. D=EA um exemplo de uma sequ=EAncia (Xn) de n=FAmeros reais tal que:=20
>>> 
>>> lim  ( Xn / n^t ) =3D 0 para todo t > 0=20
>>> e
>>> lim ( [log(n)]^k / Xn ) =3D 0 para todo k > 0
>>> 
>> 
>> Existem muitas, como X_n=2^(raiz(log(n)), ou X_n=(log(n))^log(log(n)).
>> 
>>> *********
>>> 
>>> 7. Um tri=E2ngulo tem lados com medida inteira e =E1rea racional. Prove =
>>> que uma de suas alturas tem medida inteira e que o p=E9 desta altura =
>>> est=E1 a uma dist=E2ncia inteira dos v=E9rtices do tri=E2ngulo.
>>> 
>> 
>> Parece que isso nao esta' certo. O triangulo de lados 17, 65 e 80 tem area
>> 288 e alturas 576/17, 576/65 e 36/5, que nao sao inteiras...
>> 
>>> *********
>>> 
>>> 9. Seja K um inteiro >=3D 2.=20
>>> infinito
>>> Seja S  =3D  SOMAT=D3RIO  1 / K^(n^2) =3D 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + =
>>> ...
>>> n =3D 1
>>> Prove que S =E9 irracional.
>>> 
>> 
>> Se x=p/q e' racional e r/s e' outro racional diferente de x entao
>> |x-r/s|=|(ps-qr)/qs|>=1/qs, ou seja, s|x-r/s|>=1/q.
>> Por outro lado, soma(n=1 ate' m)(1/K^(n^2)) e' um racional com denominador
>> (divisor de) K^(m^2), digamos p/K^(m^2), e
>> |S-p/K^(m^2)|<(1/K^((m+1)^2))(1+1/2+1/4+...)=2/K^((m+1)^2), mas
>> K^(m^2).2/K^((m+1)^2)=2/K^(2m+1) tende a 0 quando m tende a infinito, e
>> portanto S nao pode ser racional.
>> 
>> Abracos,
>> Gugu
>> =========================================================================
>> Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>> O administrador desta lista ? <nicolau@mat.puc-rio.br>
>> =========================================================================
>> 
>
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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