Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

>
>4.=20
>A) As medidas dos =E2ngulos agudos de um tri=E2ngulo pitag=F3rico =
>(tri=E2ngulo ret=E2ngulo cujos lados t=EAm medida inteira) n=E3o s=E3o =
>inteiras (quando expressos em graus).
>
>B) Se os lados de um tri=E2ngulo t=EAm medida inteira e um de seus =
>=E2ngulos tem medida inteira, ent=E3o esse =E2ngulo mede 60, 90 ou 120 =
>graus.
>
>C) Se um tri=E2ngulo tem os tr=EAs lados e os tr=EAs =E2ngulos com =
>medida inteira ent=E3o ele =E9 equil=E1tero.
>

  Vamos primeiro achar todos os angulos racionais (em graus) cujo cosseno e'
racional. Para isso, note que 2.cos(nx)=P_n(2.cos(x)), onde P_n e' um
polinomio de grau n com coeficientes inteiros cujo coeficiente lider e' 1
(talvez a prova mais rapida disso seja por inducao, a partir de
2.cos(x)=e^(ix)+e^(-ix) e 2.cos(nx)=e^(ix)^n+e^(-ix)^n).  Assim, como
P_q(2.cos(2.p.Pi/q))=2.cos(q.2.p.Pi/q)=2.cos(2.p.Pi)=2, 2.cos(2.p.Pi/q) e'
raiz de um polinomio com coeficientes inteiros e coeficiente lider 1, e
logo, se cos(2.p.Pi/q) e' racional entao 2.cos(2.p.Pi/q) e' inteiro, donde
cos(2.p.Pi/q) pertence a {-1,-1/2,0,1/2,1}.
  Nesses casos, sen(2.p.Pi/q) tambem e' racional se e somente se
cos(2.p.Pi/q) e' 0,1 ou -1. Isso implica imediatamente o item A). 
  Para o item B, note que se a, b e c sao inteiros entao
cos(C)=(a^2+b^2-c^2)/2ab (lei dos cossenos) e' racional, donde cos(C) e'
-1/2,0 ou 1/2 e logo C e' 120, 90 ou 60 graus.
  O item C segue imediatamente do item B, pois se os angulos nao fossem
todos 60 graus (o minimo possivel nesse caso), sua soma seria maior que 180
graus. 

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>
>5. Nos festejos juninos, 20 casais de dan=E7arinos s=E3o colocados em =
>c=EDrculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par =
>est=E3o situados diametralmente opostos. Durante a dan=E7a, dois =
>dan=E7arinos adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros =
>permanecem na mesma posi=E7=E3o. Essa mudan=E7a =E9 repetida com pares =
>adjacentes at=E9 que, na posi=E7=E3o final, os dois dan=E7arinos de cada =
>par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posi=E7=E3o =
>contr=E1ria da inicial. Ent=E3o o n=FAmero m=EDnimo de mudan=E7as, de =
>dois dan=E7arinos adjacentes, para acontecer isso =E9:
>
>(a) 20!  (b) 400  (c) 10!  (d) 19!  (e) 20
>

  A resposta e' 400 (item (b)). Para ver que vao pode ser menos que isso,
definimos uma distancia entre duas permutacoes f e g de 1,2,...,40 a soma
das distancias no circulo entre f(j) e g(j) para j=1,2,...,40. Uma troca de
posicoes entre dois vizinhos leva uma permutacao a outra permutacao a uma
distancia 2 dela. A distancia entre a posicao original e a posicao em que os
pares diametralmente opostos trocam de posicao e' 20.40=800. Assim,
precisamos de no minimo 800/2=400 trocas de posicoes de vizinhos para chegar
nessa situacao. Por outro lado e' possivel fazer isso com 400 trocas de
vizinhos: suponha que a ordem original seja 1,2,...,40. Fazemos assim: 1
troca de posicao com 40,39,...,21 e vai para a posicao oposta (enquanto
40,39,...,21 andam uma posicao na direcao de 2). Depois 2 troca de posicao
com 40,39,...,21 e assim por diante, ate' 20 trocar de posicao com
40,39,...,21, quando todos ficam nas posicoes diametralmente opostas as
iniciais.   

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     Abracos,
             Gugu
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