Re: [obm-l] Problemas em Aberto II

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

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>12. Dada a sequencia a[n+1]=3D 2a[1]*a[n] - a[n-1] definida para todo =
>n>=3D1 tal que a[0]=3D100 e a[100]=3D 0.=20
>a) Mostre que | a[1] |<=3D1.
>
>b) Determine a[2003].
>

   Esse problema nao esta' certo. Ele parece muito com um problema que
apareceu na Eureka 9, na secao olimpiadas ao redor do mundo (e' o problema
34, na pagina 45), que tambem dizia que a[n+1]=2.a[1].a[n]-a[n-1] para todo
n>=1 e que a[100]=0, mas dizia que a[0]=1 (e nao a[0]=100), e pedia para
calcular a[1996] (na verdade deveria pedir para calcular todos os valores
possiveis de a[1996]) em vez de a[2003].
   Nesses problemas temos dois casos: a[1] pertence a {-1,1} ou
x^2-2.a[1].x+1 tem duas raizes distintas, a[1]+raiz(a[1]^2-1) e
a[1]-raiz(a[1]^2-1): nesse segundo caso, a[n] pode ser escrito como
A.(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^n+B.(a[1]-raiz(a[1]^2-1))^n para certas constantes A
e B (ver o artigo sobre recorrencia na Eureka 9). Note que as condicoes do
problema (nas duas versoes) implicam
A.(a[1]+raiz(a[1]^2-1))+B.(a[1]-raiz(a[1]^2-1))=a[1]. Se a[0]=1, temos
A+B=1, e portanto A=B=1/2. Por outro, se a[0]=100 entao A+B=100, B=100-A e
A.(a[1]+raiz(a[1]^2-1))+(100-A).(a[1]-raiz(a[1]^2-1))=a[1], donde
A=(100.raiz(a[1]^2-1)-99.a[1])/2.raiz(a[1]^2-1) e
B=(100.raiz(a[1]^2-1)+99.a[1])/2.raiz(a[1]^2-1). 
Como a[100]=0, temos
A.(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^100+B.(a[1]-raiz(a[1]^2-1))^100=0, donde
(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^200=(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^100/(a[1]-raiz(a[1]^2-1))^100=-B/A.
    No caso em que a[1]=100, isso fica (*)
(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^200=(99.a[1]+100.raiz(a[1]^2-1))/(99.a[1]-100.raiz(a[1]^2-1)).
Quando a[1] tende a 100/raiz(199)(que e' solucao de
99.a[1]-100.raiz(a[1]^2-1)=0), o lado direito de (*) tende a infinito, mas,
se a[1]=5/4, o lado esquerdo e' 2^200, que e' maior que 795/195=139/39, que
e' o lado direito. Assim, existe a[1] maior que 1 que faz o lado direito ser
igual ao lado esquerdo, donde a primeira conclusao do problema e' falsa.
    Vamos entao resolver o problema trocando a[0]=100 por a[0]=1. Nesse
caso, a condicao a[100]=0 equivale a
(a[1]+raiz(a[1]^2-1))^200=-1=(a[1]-raiz(a[1]^2-1))^200, donde
(a[1]+raiz(a[1]^2-1))=e^((2k+1).Pi.i/200) e
(a[1]-raiz(a[1]^2-1))=e^(-(2k+1).Pi.i/200) (para algum k inteiro) tem modulo
1, donde |a(1)|<=1. Dai segue que
a[n]=1/2((a[1]+raiz(a[1]^2-1))^n+(a[1]-raiz(a[1]^2-1))^n)=
=1/2(e^((2k+1).n.Pi.i/200)+e^(-(2k+1).n.Pi.i/200))=2.cos((2k+1).n.Pi/200)
para todo n.
Em particular, temos
a[2003]=2.cos((2k+1).2003.Pi/200)=2.cos(3.(2k+1).Pi/200). Por outro lado,
ainda podemos escolher o valor de k, e temos pois os seguintes 100 valores
possiveis para a[2003]: cos(Pi/200),cos(3.Pi/200),...,cos(199.Pi/200). 

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>13.  X, Y e Z s=E3o reais positivos e satisfazem o sistema abaixo,
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>X^2 + XY + (Y^2)/3 =3D 25
>(Y^2)/3 + Z^2 =3D 9
>Z^2 + ZX + X^2 =3D 16
>
>Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ).
>
>SUGEST=C3O : Voc=EA nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ...
>

   Somando as duas ultimas equacoes e comparando com a primeira obtemos
2Z^2+ZX=XY, donde Y=Z/X.(2Z+X) (note que X deve ser nao nulo, senao Z tambem
seria nulo e nao poderia valer a terceira equacao; Z tambem e' diferente de
0, senao XY=0, e, como X e' nao nulo, Y=0, e a segunda equacao daria 0=9,
absurdo). Dividindo a segunda e a terceira equacoes, obtemos
9/16=(Y^2/3+Z^2)/(Z^2+ZX+X^2)=((Y/Z)^2/3+1)/(1+(X/Z)+(X/Z)^2)=
=((2(Z/X)+1)^2/3+1)/(1+(X/Z)+(X/Z)^2)=((1+2/a)^2/3+1)/(1+a+a^2)=4/3a^2, onde
a=X/Z, donde a^2=64/27 e a=8/raiz(27) ou a=-8/raiz(27). Por outro lado,
nesse caso,
XY+2YZ+3ZX=z^2(a.Y/Z+2.Y/Z+3a)=Z^2(a(1+2/a)+2(1+2/a)+3a)=4Z^2.(a^2+a+1)/a,
mas Z^2.(a^2+a+1)=X^2+XZ+Z^2=16, donde XY+2YZ+3ZX=64/a pertence a
{8.raiz(27),-8.raiz(27)} = {24.raiz(3),-24.raiz(3)}.

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      Abracos,
               Gugu
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