Re: [obm-l] FW: Teoria dos grupos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, Apr 14, 2003 at 03:05:32PM -0300, Nicolau C. Saldanha wrote:
> On Fri, Apr 11, 2003 at 04:25:40PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
> >     Acho que isso nao esta' certo. Por exemplo, f(2)=2 para todo
> > automorfismo de Z/4Z, pois 2 e' o unico elemento de ordem 2.
> > >
> > >Seja G um grupo cuja ordem eh diferente de 2.
> > >Seja a um elemento de G tal que f(a) = a para todo automorfismo f:G -> G.
> > >Prove que a = identidade de G.
> 
> Como o Gugu apontou o problema original estava errado mas acho que vale
> a pena falar um pouco mais.
> 
> Se o grupo G é não abeliano então as conjugações deixam fixos exatamente
> os elementos do centro do grupo. Não é claro para mim o que acontece
> com os elementos do centro. O exemplo G = Q8 x Z/2 (onde Q8 é o grupo
> de 8 elementos dos quatérnios +-1, +-i, +-j, +-k) tem centro Z/2 x Z/2:
> o elemento (-1,0) tem ordem 2 e é o único elemento do centro que é
> quadrado de alguém logo fica fixo por todo automorfismo de G
> (apesar de existirem automorfismos do centro levando ele noutro elemento).
> Não sei se existe, por exemplo, um grupo cujo centro seja Z/3 para o qual
> não existe automorfismo agindo de forma não trivial no centro.
> Eu tentei o exemplo G = SL(3,Z/7) (matrizes 3x3 de determinante 1
> com coeficientes no corpo Z/7) mas o automorfismo A |-> A^(-T)
> leva 2I em 4I.

Outro exemplo instrutivo é SL(5,Z/11) (matrizes 5x5 de determinante 1
com coeficientes no corpo Z/11). O centro é isomorfo a Z/5, são as
matrizes diagonais com entrada diagonal 1, 3, 4, 5 ou 9. As conjugações
por elementos de GL(5,Z/11) mantem estes 5 caras parados e o automorfismo
externo A |-> A^(-T) (a inversa da transposta) troca 3 <-> 4, 5 <-> 9.
Consultando o Atlas of Finite Groups aprendi que não existem outros
automorfismos além dos gerados por estes exemplos. Assim não existe,
por exemplo, um automorfismo que leve 3 em 5, apesar de eu não ver
uma propriedade "simples" destes elementos que deixe claro pq um tal
automorfismo não possa existir. Note que existe um automorfismo do centro
nele mesmo levando 3 em 5.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================