Re: [obm-l] FW: Teoria dos grupos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, Apr 11, 2003 at 04:25:40PM -0300, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:
>     Acho que isso nao esta' certo. Por exemplo, f(2)=2 para todo
> automorfismo de Z/4Z, pois 2 e' o unico elemento de ordem 2.
> >
> >Seja G um grupo cuja ordem eh diferente de 2.
> >Seja a um elemento de G tal que f(a) = a para todo automorfismo f:G -> G.
> >Prove que a = identidade de G.

Como o Gugu apontou o problema original estava errado mas acho que vale
a pena falar um pouco mais.

Se o grupo G é não abeliano então as conjugações deixam fixos exatamente
os elementos do centro do grupo. Não é claro para mim o que acontece
com os elementos do centro. O exemplo G = Q8 x Z/2 (onde Q8 é o grupo
de 8 elementos dos quatérnios +-1, +-i, +-j, +-k) tem centro Z/2 x Z/2:
o elemento (-1,0) tem ordem 2 e é o único elemento do centro que é
quadrado de alguém logo fica fixo por todo automorfismo de G
(apesar de existirem automorfismos do centro levando ele noutro elemento).
Não sei se existe, por exemplo, um grupo cujo centro seja Z/3 para o qual
não existe automorfismo agindo de forma não trivial no centro.
Eu tentei o exemplo G = SL(3,Z/7) (matrizes 3x3 de determinante 1
com coeficientes no corpo Z/7) mas o automorfismo A |-> A^(-T)
leva 2I em 4I.

[]s, N.
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