[obm-l] Re: [obm-l] 3 semicircunferências

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

>
> A , B e C são três pontos alinhados tais que os
> segmentos consecutivos  AB = 2a e BC = 2b. Sobre os
> segmentos AB, BC e AC tomados como diâmetros e de um
> mesmo lado de AC descrevem três semicircunferências.
> Calcular o raio de circunferência que é tangente a
> estas três semicircunferências.
> resposta:  [ab(a + b)]/(a² + ab + b²)
>
Oi, Rafael:

Seja R o raio pedido.

Sejam os pontos:
O: centro da circunferência tangente às três outras;
M: ponto médio de AB
N: ponto médio de BC
P: ponto médio de AC

O triângulo OMN tem lados:
OM = a + R
ON = b + R
MN = a + b
e uma ceviana:
OP = a + b - R
tal que:
MP = b; PN = a

Se o ângulo MPO mede x, então o NPO mede 180 - x.

Lei dos cossenos no triângulo MPO:
OM^2 = MP^2 + OP^2 - 2*MP*OP*cos(MPO) ==>
(a+R)^2 = b^2 + (a+b-R)^2 - 2*b*(a+b-R)*cos(x) ==>
cos(x) = [b^2 + (a+b-R)^2 - (a+R)^2]/[2*b*(a+b-R)]

Lei dos cossenos no triângulo NPO:
ON^2 = PN^2 + OP^2 - 2*PN*OP*cos(NPO) ==>
(b+R)^2 = a^2 + (a+b-R)^2 + 2*a*(a+b-R)*cos(x) ==>
cos(x) = [(b+R)^2 - a^2 - (a+b-R)^2]/[2*a*(a+b-R)]

Igualando as duas expressões para cos(x) e já fazendo algumas
simplificações, teremos:
a*[b^2 + (a+b-R)^2 - (a+R)^2] = b*[(b+R)^2 - a^2 - (a+b-R)^2] ==>
a*b^2 + a^2*b = a^2*R + b^2*R + a*b*R ==>

R = a*b*(a+b)/(a^2 + a*b + b^2)

Um abraço,
Claudio.

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