[obm-l] Re: [obm-l] Irã [1999]

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Edilon e demais colegas da lista:

No primeiro problema eu fiz o seguinte:

Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros positivos m e n,
com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos.

Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos:
2^n = 2^m (mod 9) ==>
2^(n-m) = 1 (mod 9) ==>
n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==>
n >= m + 6 ==>
2^n >= 64*2^m ==>
2^n tem mais dígitos do que 2^m

Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens diferentes)
==>
2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==>
contradição ==>
a resposta é não

No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n
tiver dígitos iguais a zero, pois nesse caso, pode ser que os zeros venham
para a esquerda (tornando-se não significativos) na representação de 2^m.

Minha pergunta: Como salvar este argumento e resolver o problema?

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: <edilonr@freenet.de>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 27, 2003 6:51 PM
Subject: [obm-l] Irã [1999]


> Caros colegas,
>
> [Irã-1999] - Existe um  inteiro positivo que é uma potência de 2, tal que
nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos?
>
>
> [Irã-1999] - Encontre todos os números naturais m tal que:
>
>                                                        m = 1/a1 +2/a2 +
3/a3 + ... + 1378/a1378
>
> onde a1 , ... , a1378 são números naturais.
>
>

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================