[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Irã [1999]

["Domingos Jr." <dopikas@xxxxxxxxxx>]

suponha que 2^m e 2^n são números com os dígitos rearranjados, sem perda de
generalidade, assuma 2^m < 2^n, é evidente que n = m+1, m+2 ou m+3, pois
para m+4 o número 2^n tem necessariamente pelo menos um dígito a mais que
2^m!

se os dígitos são os mesmos, é fácil verificar que a congruência deles
módulo 3 é igual
2^m = 2^(m+1) (mod 3), como 3 é primo, isso vale <=> 2 = 1 (mod 3) absurdo
2^m = 2^(m+3) (mod 3), 8 = 1 (mod 3), absurdo

2^m = 2^(m+2) (mod 3), 4 = 1 (mod 3), ok

considere agora a congruência mod 9:
2^m = 2^(m+2) (mod 9), seja m = 6k + s (com 0 <= s < 5)
2^(6k).2^s = 2^(6k).2^(s+2)
mas 2^6 = 1 mod 9, podemos então eliminar o fator 2^(6k) de ambos os lados
2^s = 2^(s+2) (mod 9), para s = 0, 1, 2, 3, 4 essa igualdade não vale e logo
chegamos a conclusão que não é possível ter dois inteiros da forma pedida.

[ ]'s

> Caro Edilon e demais colegas da lista:
>
> No primeiro problema eu fiz o seguinte:
>
> Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros positivos m e n,
> com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos.
>
> Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos:
> 2^n = 2^m (mod 9) ==>
> 2^(n-m) = 1 (mod 9) ==>
> n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==>
> n >= m + 6 ==>
> 2^n >= 64*2^m ==>
> 2^n tem mais dígitos do que 2^m
>
> Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens diferentes)
> ==>
> 2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==>
> contradição ==>
> a resposta é não
>
> No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n
> tiver dígitos iguais a zero, pois nesse caso, pode ser que os zeros venham
> para a esquerda (tornando-se não significativos) na representação de 2^m.
>
> Minha pergunta: Como salvar este argumento e resolver o problema?
>
> Um abraço,
> Claudio.

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