[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Irã [1999]

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Se e assim faço o dois:vamos ver casos menores:
no lugar de 1378 ponha 2.Ai ce faz 1/a+2/b vai de 1 ate tres.Para o proximo
1/a+2/b+3/c,simples:voce pode por o 1(a=1,b=2,c=3),pode 1+3/c,2+3/c e 3+3/c.Varia
c abaixo de 3 e verifica que vai ate 6.A induçao vai assim mesmo:coloca
o proximo numero(4/d por exemplo),soma os possiveis e ve que vai ate o maximo(quando
d=1 e a soma indutiva produzida antes for maxima).Seguindo assim nao e dificil
ver que vai desde o 1 ate o n-esimo triangular.E so fazer as contas!
A ideia e ver o maximo e o minimo naturais da funçao descrita,e mostrar
que se pode varrer todos entre os extremos.
Esse primeiro caiu na OBM.Veja as Eurekas e pronto!!!!!

-- Mensagem original --

>Caro Edilon e demais colegas da lista:
>
>No primeiro problema eu fiz o seguinte:
>
>Suponhamos que a resposta seja sim e que existam inteiros positivos m e
n,
>com m < n tais que 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos.
>
>Então, pelo critério de divisibilidade por 9, teremos:
>2^n = 2^m (mod 9) ==>
>2^(n-m) = 1 (mod 9) ==>
>n - m é múltiplo de 6 = ordem de 2 mod 9 ==>
>n >= m + 6 ==>
>2^n >= 64*2^m ==>
>2^n tem mais dígitos do que 2^m
>
>Mas, por hipótese, 2^m e 2^n têm os mesmos dígitos (em ordens diferentes)
>==>
>2^n e 2^m têm o mesmo número de dígitos ==>
>contradição ==>
>a resposta é não
>
>No entanto, essa solução não é válida se a representação decimal de 2^n
>tiver dígitos iguais a zero, pois nesse caso, pode ser que os zeros venham
>para a esquerda (tornando-se não significativos) na representação de 2^m.
>
>Minha pergunta: Como salvar este argumento e resolver o problema?
>
>Um abraço,
>Claudio.
>
>----- Original Message -----
>From: <edilonr@freenet.de>
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Sent: Thursday, February 27, 2003 6:51 PM
>Subject: [obm-l] Irã [1999]
>
>
>> Caros colegas,
>>
>> [Irã-1999] - Existe um  inteiro positivo que é uma potência de 2, tal
que
>nós podemos obter outra potência de 2 pelo rearranjo de seus dígitos?
>>
>>
>> [Irã-1999] - Encontre todos os números naturais m tal que:
>>
>>                                                        m = 1/a1 +2/a2
+
>3/a3 + ... + 1378/a1378
>>
>> onde a1 , ... , a1378 são números naturais.
>>
>>
>
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>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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