Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Amurpe:

Seguem-se alguns comentários.

----- Original Message -----
From: "amurpe" <amurpe@bol.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, March 14, 2003 10:26 AM
Subject: Re: [obm-l] AJUDA COM LIMITES


> > Professor Morgado, procurei observar com atenção o que
> voc~e falou sobre a razão das funções não poder ser
> igual a -1.
> > Fiquei em duvida com relação a resolução do
> limite ,que vem a seguir.Apliquei o teorema do desprezo
> e obtive raizx/raiz9x ==>raiz(x/9x) = 1/3.
>
Qual é esse teorema do desprezo a que você se refere?
Mesmo sem saber ao certo do que se trata, meu conselho é: muito cuidado ao
desprezar termos que podem parecer insignificantes, mas não são.
Por exemplo, ao calcular limite (x -> infinito) raiz(x^2 + x) - x, você pode
ficar tentado a desprezar o x dentro do radical, o que daria limite = 0. No
entanto, o limite é igual a 1/2 (irracionalize o denominador).

> A minha duvida vem agora .Tentei fazer esse limite de
> outra forma , para utilizar o que o sr me escreveu .
> e aí apareceu a dúvida.
>
> Fiz , o seguinte: utilizei a desigualdade de Bernoulli:
> ( 1+x)^m = 1+mx. Fiz ,também, que x=>inf, então x=1/h e
> h=>0 ( mudei a variável).
> A razão entre as  funçoes depois dessa substituição não
> é igual a -1.
>
> cheguei a expressão:
> lim(h=>0)[(1/h+1)^0.5 ]/[(9/h+1)^1/2].
>
> lim(h=>0)[(1/h + 1)/(9/h + 1)]^1/2.
>
> lim(h=>0)[(1+h)/h /(9 + h)/h]^1/2.
>
>
> lim(h=>0)[(1+h)] /[(9 + h)]^1/2.apicando agora a
> desigualdade de Bernoulli obtive:
>
> lim(h=>0)[(1+h/2)/(9 + h/2)como h=>0 o resultado dá 1/9.

O erro está aqui: você não pode usar Bernoulli em (9+h)^(1/2).
Antes você precisa fazer:
(9+h)^(1/2) =
[9*(1+h/9)]^(1/2) =
9^(1/2) * (1+h/9)^(1/2) =
3 * (1+h/9)^(1/2)

Agora sim. Bernoulli no numerador e no denominador, dando:
(1+h)^(1/2) / [ 3 * (1+h/9)^(1/2) ] ~
(1 + h/2) / [ 3 * (1 + h/18) ]

Logo, quando h -> 0, a expressão tende a 1/3.
No entanto, repare que você nem precisava usar Bernoulli....

Um abraço,
Claudio.

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