[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwitz

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caros DexX e Nicolau:

Adolf Hurwitz foi um matemático alemão do final do século XIX / começo do
século XX que trabalhou na área de funções analíticas, álgebra e teoria dos
números. Foi mentor de David Hilbert e Hermann Minkowski.

A única referência que eu conheço para "número de Hurwitz" é este problema
de se provar que {(3+4i)/5]^n <> 1 para todo n natural.

Uma solução (diferente mas relacionada à do Nicolau) baseia-se no fato de
que: z = (3+4i)/5 = (2+i)/(2-i).

Logo, o problema reduz-se a provar que, para todo n natural, (2+i)^n <>
(2-i)^n.

Considere a seguinte sequência: A(n) = (1/(2i))*[(2+i)^n - (2-i)^n].

Inicialmente, vou tentar achar uma sequência recorrente de inteiros cujo
termo geral seja justamente este A(n).
( o coeficiente 1/(2i) não veio simplesmente do nada - é simplesmente a
forma de garantir que os A(n) sejam inteiros e que A(1) = 1 - obviamente, eu
só percebi a conveniência disso após algum esforço)

2+i e 2-i são raízes de p(x) = x^2 - 4x + 5, o qual, por sua vez, é o
polinômio característico da seguinte recorrência:
B(n) = 4*B(n-1) - 5*B(n-2).

Fazendo B(1) = 1 e B(2) = 4, achamos que B(n) = A(n) para todo n.

Agora, vou supor que, para algum n, tenhamos (2+i)^n = (2-i)^n e tentar
obter uma contradição.

Se tal n existe, então, teremos A(n) = 0  ==>
4*A(n-1) - 5*A(n-2) = 0  ==>
4*A(n-1) = 5*A(n-2)  ==> A(n-1) é divisível por 5   (***)

Agora, basta provar que, para todo k, MDC( A(k) , 5 ) = 1. Isso sai por
indução:

k = 1  ==> A(k) = 1 e MDC(1,5) = 1.

Suponhamos que para 1 <= k < p, tenhamos MDC( A(k) , 5 ) = 1.

Então: A(p) = 4*A(p-1) - 5*A(p-2)  ==>
MDC( A(p) , 5 )  = MDC ( 4*A(p-1) - 5*A(p-2) , 5 ) =
= MDC( 4*A(p-1) , 5 ) = 1, uma vez que MDC(4,5) = MDC(A(p-1), 5) = 1 (pela
hipótese de indução)

Logo, para todo k, temos MDC( A(k), 5 ) = 1.

Mas (***) nos diz que 5 divide A(n-1) ==> MDC( A(n-1) , 5 ) = 5 ==>
contradição.

Logo, não pode ser A(n) = 0, ou seja, para todo n, A(n) <> 0 ==>
para todo n, (2+i)^n <> (2-i)^n ==>
para todo n, [(3+4i)/5]^n <> 1.

*************

OBS: este problema pode ser generalizado:

Dados inteiros p e q, com MDC(p,q) = 1, teremos que, para todo natural n,
(p+qi)^n <> (p-qi)^n.


Um abraço,
Claudio.



----- Original Message -----
From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, February 12, 2003 9:22 AM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Número de Hurwist


> On Tue, Feb 11, 2003 at 09:49:21PM -0300, DexX wrote:
> > Olá Nicolau e colegas da lista
> >
> > Estava navegando pela iNET, procurando alguns tópicos de matemática
quando
> > me deparei com o seguinte trecho de uma mensagem antiga:
> >
> > "Lembro-me do vestibular do IME de 1981, o Nicolau foi o único que
resolveu
> > uma certa questão chamada de Número de Hurwist, acho que é assim que
escreve
> > (números complexos)."
> >
> > Me espantou o termo, Número de Hurwist, nunca o ouvi. Procurei pela
internet
> > algo sobre, e apenas me deparei com esta próprica mensagem. Mais nada...
> >
> > Por isso mando esta mensagem. Gostaria de saber se este nome está
correto
> > (pois o próprio autor da mensagem duvidou desta grafia), e se fosse
> > possível, ver esta tal questão com alguma explicação sobre estes números
:-)
>
> Eu também não sei o que é isso, nem se o nome está certo.
> Se esta história tiver base na prova do IME que eu fiz,
> a questão deve ser mais ou menos a seguinte:
>
> Dado z = (3+4i)/5,
> prove que não existe nenhum inteiro positivo n com z^n = 1.
>
> Eu fiz definindo z^n = (a_n + b_n i)/5^n e observando algum tipo de
> congruência que garantia que b_n é diferente de 0 para n > 0.
>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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