[obm-l] RE: Função uniformemente diferenciável e outros tópicos

["Artur Costa Steiner" <artur@xxxxxxxxxxxxx>]

Boa noite, Cláudio e demais amigos

A sua demonstração em (1) está perfeita. Suas idéias foram expostas com
extrema clareza, poderiam muito bem estar num livro de Análise Real.

Dos itens 3 em diante, tudo OK na minha opinião

No item (2), condição de Lipschitz, chamo apenas a atenção para uma
condição restritiva introduzida: o fato de f ser diferenciável em I não
garante que f’ seja Riemann integrável em sub-intervalos fechados de I
(muita gente acha que isto é automático, mas na realidade não é). Se,
porém, assumirmos tal integrabilidade, creio que sua prova está correta.
Uma outra prova, que não se basia na integral, é a seguinte:

Suponhamos que f seja diferenciável em I e que, além disto, satisfaça em
I à  condição de Lipischitz.  Existe então K>0 tal que |f(x) – f(y)| <=
K|x-y| para todos x, y em I . Logo, se x<>y , então |f(x) – f(y)|/(x-y)
<= K. No primeiro membro desta desigualdade, façamos y -> x. Como f é
diferenciável, este primeiro membro tende a |f’(x)| (pois o valor
absoluto é uma função contínua). Pelas propriedades dos limites de
funções reais, temos então que    |f’(x)|<= K. Como x é arbitrário,
concluímos que f’ é limitada em I pela constante K.

Suponhamos agora, por outro lado, que f seja diferenciável em I e que f’
seja limitada em I. Existe então K>0 tal que |f’(u)| <=K (a) para todo u
em I. Dados quaisquer x e y em I, o T. Do Valor Médio aplica-se ao
intervalo fechado de pontos extremos x e y. Existe portanto z entre x e
y tal que f(x) – f(y) = f’(z) (x-y). Logo |f(x) – f(y)| = |f’(z)| |x-y|,
igualdade que, em virtude de (a) (pois z sempre está em I) nos mostra
que  |f(x) – f(y)| <= K  |x-y|. Logo, f obedece à condição de Lipschitz.
Observe que podemos sempre tomar K = supremo {|f’(u)| : u pertence a I}.
Observamos também que, se I= [a, b], então basta assumir
diferenciabilidade em (a, b) e continuidade nos extremos a e b. 

Como exemplo, seja f(x) = raiz(x) e I = [a, infinito), para a>0. Temos
que f’(x) = 1/[2*raiz(x)] e que supremo {|f’(x)| : x em I} =
1/[2*raiz(a)]. Logo, qualquer que seja a>0, f satisfaz à condição de
Lipischitz em [a , infinito) com constante K= 1/[2*raiz(a)]. Observamos,
entretanto, que se a ->0+ então 1/[2*raiz(a)] -> +infinto, logo não
podemos extender a conclusão para [0, infinito) e , nem mesmo, para (a,
infinito)

Por hoje é só. Por uma questão de espaço, tive que deletar a mensagem
original.
Um abraço para todos.
Artur 
 

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