[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caros Artur e Salvador:

Por enquanto, o que eu tenho é isso:

Por favor, prestem atenção, em especial, à passagem marcada por (*****) na
volta da demonstração de (2), pois acho que eu introduzi uma hipótese
restritiva.

Seja I um intervalo real.

1. Prove que:
f é unif. diferenciável em I <==> f' é unif. contínua em I

Suponhamos que f seja uniformemente diferenciável em I:
Seja eps>0.
Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0 < |x-y| < d, então:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | < eps/2  e
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) | <  eps/2
Mas, nesse caso:
| f'(x) - f'(y) | =
| f'(x) - [f(x)-f(y)]/(x-y) + [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y)| <=
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | + | [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(y) |  <
eps/2 + eps/2 = eps. ==>
f' é uniformemente contínua em I

Suponhamos, agora, que f' seja uniformemente contínua em I:
Seja eps>0. Então existe d>0 tal que, se x e y estiverem em I e
se 0 < |x-y| < d, então | f'(x) - f'(y) | < eps.
Pelo teorema do valor médio, para quaisquer x e y em I,
existe z entre x e y tal que f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y).
Como z está entre x e y, teremos 0 < |z - x| < |x - y| < d, o que implica,
pela continuidade uniforme de f', que |f'(z) - f'(x)| < eps.
Sendo assim:
| [f(x)-f(y)]/(x-y) - f'(x) | = | f'(z) - f'(x) | < eps ==>
f'é uniformememente diferenciável em I.

****************

2. Seja f diferenciável em I.
f' é limitada em I <==> existe uma constante K>0 tal que:
|f(x) - f(y)| <= K|x-y| para todos x e y em I

Suponhamos que f' seja limitada em I. Então, para todo t em I,
existe K > 0, tal que -K < f'(t) < K.
Sejam x e y em I, com x <= y.
Integrando a desigualdade acima de x até y, teremos:
        y                              y                               y
INTEGRAL -Kdt < INTEGRAL f'(t)dt < INTEGRAL Kdt  ==>
        x                              x                               x
-K(y-x) < f(y) - f(x) < K(y-x)  ==>
|f(y) - f(x)| < K|y-x|.
Se x > y, tudo muda de sinal e a mesma desigualdade entre valores
absolutos continua valendo ==>
f obedece à condição de Lipschitz em I.

Suponhamos, agora, que f' não seja limitada.
Então, para todo K > 0, existirão x e y em I, com x < y,
tais que para todo t entre x e y, f'(t) > K  (*****).
Integrando de x até y, teremos:
        y                               y
INTEGRAL f'(t)dt > INTEGRAL Kdt  ==>
        x                               x
f(y) - f(x) > K(y-x)  ==>
|f(y) - f(x)| > K|y-x|  ==>
f não obedece à condição de Lipschitz.

************

Funções da forma f(x) = x^n*sen(1/x) ou x^n*sen^2(1/x) para X <> 0 e f(0) =
0, são muito usadas em livros de análise como exemplos de:
1. funções descontínuas em x =0:
f(x) = sen(1/x), se x <> 0, f(0) = qualquer número real

2. funções contínuas mas não diferenciáveis em x=0:
f(x) = x*sen(1/x), se x <> 0, f(0) = 0

3. funções diferenciáveis mas com derivadas descontínuas em x=0:
f(x) = x^2*sen(1/x), se x <>0, f(0) = 0.

Etc....

**********

(3) acima mostra que podem haver funções diferenciáveis em toda a reta mas
com derivada descontínua em algum ponto.

No entanto, vale o "Teorema do Valor Intermediário" para derivadas:
Seja f diferenciável em (a,b). Dados x1 e x2, com a < x1 < x2 < b, se f'(x1)
< f'(x2) então, para todo c com f'(x1) < c < f'(x2), existe z ( x1 < z <
x2 ) com f'(z) = c. Analogamente para quando f'(x1) > f'(x2).

**********

Um abraço,
Claudio.


----- Original Message -----
From: "Artur Costa Steiner" <artur@opendf.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Thursday, February 06, 2003 11:20 PM
Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável


>> -----Original Message-----
>> From: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-
>> l@sucuri.mat.puc-rio.br] On Behalf Of Cláudio (Prática)
>> Sent: Wednesday, February 05, 2003 12:40 PM
>> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Função uniformemente diferenciável
>>
>> Caro Artur:
>>
>> Tentando resolver os seus problemas (especificamente, com as voltas
>dos
>> "se
>> e somente se") eu me deparei com uma dúvida:
>>
>> Tome uma função f, diferenciável num intervalo aberto I.
>> É verdade que dado qualquer z em I, existem x e y em I tais que:
>> f'(z) = [f(x)-f(y)]/(x-y) ?
>> Este seria uma espécie de recíproco do teorema do valor médio.
>
>Não, não é verdade. Considere, por exemplo, f dada por f(x) = x^3, no
>ponto z=0 . É fácil verificar que se y<0<x, então f(x)-f(y)]/(x-y)>0 e
>jamais se iguala a f'(0)=0. Observe que, para termos uma recíproca do
>teorema do valor médio, deveríamos ter z entre  x e y.
>
>PS. Vc achou interessantes os problemas que eu propus?
>Abraços
>Artur



=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================