[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] N�mero de Erd�s

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Pessoal,

Falando em Erdos, aqui esta um problema famoso e antigo resolvido pelo Erdos 
( Cmado Teorema das 13 esferas ) - que Newton nao resolveu - de uma forma 
extremamente trabalhosa, mas que permite uma outra solucao, bem mais simples 
:

PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C 
vamos colocando outras esferas C1, C2, ...  todas de raio R. Qual a 
quantidade maxima de esferas que podemos colocar ?

SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C. IMAGINE 
todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto define 
um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ?

O valor de um angulo-solido e medido em esfero-radianos  e, por definicao, e 
a divisao entre a area que ele intercepta na superficie esfera e o quadrado 
do raio. Assim, claramente, numa esfera ha 4pi esfero-radianos.

Calcule a ara da calota esferica ( existem formulas prontas ) e divida pelo 
quadrado do raio que voce encontrara o valor o angulo solido.

Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido de 
mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce 
percebera que :

1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres calotas 
iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero radianos, 
do angulo solido correspondente a esta area ?

Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas C1, 
C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico 
"equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao ao 
angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos 
vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente. 
Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da regiao 
central.

2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja 
existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma nova 
regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem 
ultrapassar 4*pi esfero-radianos ...

Um Abraco
Paulo Santa Rita
2,1230,100203

>From: "Cl�udio \(Pr�tica\)" <claudio@praticacorretora.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: [obm-l] Re: [obm-l] N�mero de Erd�s Date: Mon, 10 Feb 2003 
>11:42:15 -0300
>
>N�mero de Erdos � a dist�ncia de uma dada pessoa at� Paul Erdos em termos 
>de co-autoria de artigos matem�ticos.
>
>Assim, se voc� escreveu um artigo em co-autoria com o Paul Erdos, voc� tem 
>N�mero de Erdos = 1.
>
>Se voc� nunca escreveu um artigo junto com ele, mas escreveu um em 
>co-autoria com algu�m que tem N�mero de Erdos = 1, ent�o voc� tem N�mero de 
>Erdos = 2.
>
>Em geral, se dentre os N�meros de Erdos de cada pessoa com quem voc� 
>escreveu artigos, o menor � N, ent�o o seu N�mero de Erdos � N+1.
>
>Um abra�o,
>Claudio.
>   ----- Original Message -----
>   From: Faelccmm@aol.com
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   Sent: Sunday, February 09, 2003 8:35 AM
>   Subject: [obm-l] N�mero de Erd�s
>
>
>   Ol� pessoal,
>
>   Algu�m poderia me dar uma explica��o consistente do que seria o n�mero 
>de Erd�s ?
>


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