[obm-l] Teorema das 13 Esferas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Paulo:

Aqui vai minha solução para o problema.
>
> PROBLEMA : Seja C uma esfera de raio R, fixa. Tangentes (externamente) a C
> vamos colocando outras esferas C1, C2, ...  todas de raio R. Qual a
> quantidade maxima de esferas que podemos colocar ?
>
> SUGESTAO : Coloque C1 e IMAGINE que voce esta em "O", o centro de C.
IMAGINE
> todas as semi-retas que partem de "O" e que sao tangentes a C1. Isto
define
> um angulo-solido. Qual o valor desta angulo solido ?
>

Tome o plano que divide C e C1 em duas semi-esferas iguais. Neste plano,
considere as retas que são tangentes a C1 e o triângulo formado por O e
pelos dois pontos de tangência das retas com C1 (P e Q). Seja O' o centro de
C1.

Teremos: O'P = O'Q = R; OO' = 2*R ==> OP = OQ = R*raiz(3) ==>
cos(O'OP) = cos(O'OQ) = raiz(3)/2  ==>  O'OP = O'OQ = Pi/6 ==> POQ = Pi/3

Área da calota determinada pelas tangentes a C1 por O =
2*Pi*R^2*[1-cos(O'OP)] = Pi*R^2*[2-raiz(3)] = 0,841787*R^2

Ângulo Sólido = Pi*[2-raiz(3)] = 0,841787 esf-rad.


> Claramente que toda nova esfera colocada representa um novo angulo-solido
de
> mesmo valor. IMAGINE agora tres esferas tao proximas quanto possivel. Voce
> percebera que :
>
> 1) Surge uma regiao central que nao esta contida em nenhuma das tres
calotas
> iguais definidas pelo tres angulo solidos. Qual o valor, em esfero
radianos,
> do angulo solido correspondente a esta area ?
>
> Os planos que contem "O" e dois outros centros de duas das tres esferas
C1,
> C2, C3 interceptam a superficie de C segundo um triangulo esferico
> "equilatero". A Area deste triangulo e (A+B+C - pi)*R^2 onde A, B e C sao
ao
> angulos do triangulo esferico ( formados pelas tangente a esfera C nos
> vertices A, B e C. Tendo a area temos o angulo-solido correspondente.
> Subtrando esta area dos "gomos" em C1, C2 e C3 calculamos o valor da
regiao
> central.
>
Cálculo da Área do Triângulo ABC::
O lado oposto ao vértice A situa-se sobre uma circunferência de raio igual a
R*sen(Pi/3) = R*raiz(3)/2.
Logo, o comprimento desta circunferência vale Pi*raiz(3)*R.

O lado do triângulo mede (Pi/3)*R ==> usando a lei dos cossenos para
triângulos esféricos, temos que:
cos(Pi/3) = cos(Pi/3)*cos(Pi/3) + sen(Pi/3)*sen(Pi/3)*cos(A) ==>
1/2 = 1/4 + 3/4*cos(A) ==>
cos(A) = 1/3 = cos(B) = cos(C) ==>
A = B = C = 1,230959 rad.

Área do Triângulo = (A + B + C - Pi)*R^2 = 0,551284*R^2


Cálculo da Área dos Gomos:
A área de cada gomo é proporcional ao arco de circunferência subentendido
pelos lados do triângulo ABC em cada uma das três calotas que ele
intercepta.

Assim, Área de um Gomo = Área da Calota * A/(2*Pi) =
0,841787*R^2 * 1,230959 / 6,283185 = 0,164917*R^2

Área dos 3 Gomos = 3 * 0,164917*R^2 = 0,494752*R^2

Logo,
Área da Região Central = (0,551284 - 0,494752)*R^2 = 0,056532*R^2


> 2) Toda nova esfera colocada com maxima aproximacao entre duas outras ja
> existente fara surgir um novo angulo-solido ( que ja calculamos ) e uma
nova
> regiao ( que calculamos em 1). Esses sucessivos acrescimos nao podem
> ultrapassar 4*pi esfero-radianos ...
>
Cada nova Esfera adiciona 1 Calota e pelo menos 1 Região Central.
1 Calota + 1 Região Central = 0,841787 + 0,056532 = 0,898319 esf-rad

Logo, N*0,898319 <= 4*Pi = 12,566371 ==> N <= 13,98876

Assim, N <= 13.

Um abraço,
Claudio.

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================