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Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências

Vc  esta certo, mas nao entendi uma coisa, pq no final vc supos |a1|=1 ?

 Cláudio_(Prática) <claudio@praticacorretora.com.br> wrote:

Caro Bruno:
 
Só uma observação:
 
A solução geral de uma equação de recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula:
A(n) = P*r^n + Q*s^n
com r e s raízes do polinômio característico (p.c.) <==> r e s forem distintas.
 
Com raízes iguais (a r), a solução geral é da forma:
A(n) = (P + Q*n)*r^n.
 
Além disso, r e s não precisam ser reais. Por exemplo, considere a equação de recorrência:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0   com as condições iniciais: B(1) = 0 e B(2) = 4.
P.C.: p(x) = x^2 -2*x + 2  ==> raízes: 1 + i   e  1 - i   ==>  B(n) = P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n
 
B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q = 0   e   B(2) = 2*i*P - 2*i*Q = 4  ==> 
P = -1 - i   e   Q = -1 + i   ==>  B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1)
 
Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos que só produz números reais !!!
 
A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16, -32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
 
 
Voltando ao problema original:
Se A(1) = 1, a equação seria:
A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio característico: x^2 - 2x + 1 = 0  ==> (x-1)^2 = 0  ==>
Solução geral: A(n) = P + Q*n
 
A(0) = 100  e  A(100) = 0  ==>  P = 100  e  Q = -1
Portanto: A(n) = 100 - n ==> A(2003) = -1903.
 
 
Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) = (x+1)^2  ==> A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n
 
A(0) = 100  e  A(100) = 0  ==>  P = 100 e Q = -1  ==>  A(n) = (100 - n)*(-1)^n  ==> A(2003) = 1903.
 
 
Um abraço,
 
Claudio.
 
----- Original Message -----
From: Bruno Lima
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46 AM
Subject: Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências

Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do Elon de Algebra linear.

Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:

x^2-2a(1)x+1=0

Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n  e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes sao LI logo qualquer outra solucao  e da forma:

a(n)=Pr^n+Qs^n, onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta. Provalvemente tem alguma coisa que nao vi.

 Erasmo de Souza Dias <erasmomat@yahoo.com.br> wrote:

valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]

é como  o Bruno disse mesmo...

a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1)..

O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item (a) é para esse enunciado aqui!

 


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