Caro Bruno:
Só uma observação:
A solução geral de uma equação de
recorrência linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula:
A(n) = P*r^n + Q*s^n
com r e s raízes do polinômio característico
(p.c.) <==> r e s forem distintas.
Com raízes iguais (a r), a solução geral é da
forma:
A(n) = (P + Q*n)*r^n.
Além disso, r e s não precisam ser reais. Por
exemplo, considere a equação de recorrência:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com
as condições iniciais: B(1) = 0 e B(2) = 4.
P.C.: p(x) = x^2 -2*x + 2 ==>
raízes: 1 + i e 1 - i ==> B(n) =
P*(1+i)^n + Q*(1-i)^n
B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q = 0
e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q
= 4 ==>
P = -1 - i e Q =
-1 + i ==> B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n =
(1-i)^(n+1) - (1+i)^(n+1)
Ou seja, uma fórmula envolvendo números
complexos que só produz números reais !!!
A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16,
-32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
Voltando ao problema original:
Se A(1) = 1, a equação seria:
A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio
característico: x^2 - 2x + 1 = 0 ==> (x-1)^2 = 0
==>
Solução geral: A(n) = P + Q*n
A(0) = 100 e A(100) = 0
==> P = 100 e Q =
-1
Portanto: A(n) = 100 - n ==> A(2003) =
-1903.
Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) =
(x+1)^2 ==> A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n
A(0) = 100 e A(100) = 0
==> P = 100 e Q = -1 ==> A(n) = (100 -
n)*(-1)^n ==> A(2003) = 1903.
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
Sent: Tuesday, February 04, 2003 9:46
AM
Subject: Re: [obm-l]
Re:_[obm-l]_sequências_e_mais_sequências
Sendo assim, la vai. Nao vou provar as coisas que podem ser achadas em
um livro que trate de equacoes em diferencas finitas, por exemplo o do
Elon de Algebra linear.
Como a equacao e de ordem 2 seu conjunto solucao e um espaco
vetorial de dimensao 2. O polinomio caracteristico da equacao e:
x^2-2a(1)x+1=0
Exigindo-se a existencia de solucao real, concluimos o item a).Observe
que,sendo r e s solucoes do polinomio acima. a(n)=r^n
e solucao (basta substituir na equacao) a(n)=s^n tambem e. Essas solucoes
sao LI logo qualquer outra solucao e da forma:
a(n)=Pr^n+Qs^n,
onde P,Q sao coeficientes a determinar, para isso precisamos de duas
condicoes iniciais. a(0)=100 ajuda, porem a(100)=0, gera muita conta.
Provalvemente tem alguma coisa que nao vi.
Erasmo de Souza Dias <erasmomat@yahoo.com.br>
wrote:
valeu pela resposta mas houve um erro no enunciado...]
é como o Bruno disse mesmo...
a(n+1)=2*a1*a(n)-a(n-1)..
O resultado do Claudio é muito bem elaborado, mas a condiçao do item
(a) é para esse enunciado aqui!
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