|
Caro Bruno:
Só uma observação:
A solução geral de uma equação de recorrência
linear homogênea de ordem 2 só é dada pela fórmula:
A(n) = P*r^n + Q*s^n
com r e s raízes do polinômio característico (p.c.)
<==> r e s forem distintas.
Com raízes iguais (a r), a solução geral é da
forma:
A(n) = (P + Q*n)*r^n.
Além disso, r e s não precisam ser reais. Por
exemplo, considere a equação de recorrência:
B(n) - 2*B(n-1) + 2*B(n-2) = 0 com as
condições iniciais: B(1) = 0 e B(2) = 4.
P.C.: p(x) = x^2 -2*x + 2 ==> raízes:
1 + i e 1 - i ==> B(n) = P*(1+i)^n +
Q*(1-i)^n
B(1) = (1+i)*P +(1-i)*Q = 0
e B(2) = 2*i*P - 2*i*Q = 4
==>
P = -1 - i e Q = -1 +
i ==> B(n) = (-1-i)*(1+i)^n - (-1+i)*(1-i)^n = (1-i)^(n+1)
- (1+i)^(n+1)
Ou seja, uma fórmula envolvendo números complexos
que só produz números reais !!!
A sequência dos B(n) seria: 0, 4, 8, 8, 0, -16,
-32, -32, 0, 64, 128, 128, 0, ....
Voltando ao problema original:
Se A(1) = 1, a equação seria:
A(n) = 2*A(n-1) - A(n-2), e o polinômio
característico: x^2 - 2x + 1 = 0 ==> (x-1)^2 = 0
==>
Solução geral: A(n) = P + Q*n
A(0) = 100 e A(100) = 0
==> P = 100 e Q =
-1
Portanto: A(n) = 100 - n ==> A(2003) =
-1903.
Também, se A(1) = -1, o p.c. seria p(x) =
(x+1)^2 ==> A(n) = (P + Q*n)*(-1)^n
A(0) = 100 e A(100) = 0
==> P = 100 e Q = -1 ==> A(n) = (100 - n)*(-1)^n
==> A(2003) = 1903.
Um abraço,
Claudio.
|