Re: [obm-l] dupla desigualdade

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Rafael:

Seguem-se meus comentários.

Por que quando você chegou em:
a/(a + b + c) = r/h(a)
você fez "a" constante para calcular os valores máximo
e mínimos de a/(a + b + c)?

*** Eu deveria ter sido mais explícito, mas a minha idéia era simplesmente
achar, em função de "a", os valores de "b" e "c" que maximizam ou minimizam
a/(a+b+c). Repare que esta expressão é adimensional
(comprimento/comprimento). Logo, o problema poderia ser re-expresso como:
Achar os valores extremos de 1/(1 + (b/a) + (c/a)), sujeito a:
0 < b/a < 1
0 < c/a < 1
(b/a)^2 + (c/a)^2 = 1.
E nesse caso teríamos que (b/a) e (c/a) seriam independentes de "a" (e
também de "b" e "c").
Veja tambem que os valores máximo (1/2) e mínimo (raiz(2)-1) de a/(a+b+c)
independem de "a".


Sei que ficaria mais complicado, mas então você poderia considerar b
constante também?

*** Sem dúvida. O problema ficaria:
Achar os valores extremos de (a/b) / ( 1 + (a/b) + (c/b) ), sujeito a:
a/b > 1
0 < c/b < a/b
(a/b)^2 - (c/b)^2 = 1
Mas, como você disse, mais complicado....


Para determinarmos b + c mínimo, será que não
poderíamos considerar direto que b + c > a, pela
condição de existência dos triângulos?

*** Sim. No limite (quando o triângula degenera), teremos b+c = a ==>
a/(a+b+c) = 1/2. Como não admitimos um trângulo degenerado, vale a
desigualdade estrita a/(a+b+c) < 1/2.


E de onde você tirou que:
(b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2)
Eu pensei que você pudesse ter feito isso:
De (b + c)² = a² + 2bc, sabemos que (b + c) será
máximo quando bc for máximo, já que "a" está
constante.

*** Aqui você poderia ter feito uma simplificação usando a desigualdade
entre as médias geométrica e aritmética de "b" e "c", que é a seguinte:
raiz(b*c) <= (b+c)/2, com igualdade <==> b = c.
Ou seja:  b*c <= (b+c)^2/4 ==> (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c <= a^2 + (b+c)^2/2  ==>
(b+c)^2 <= 2*a^2  ==>  b+c é máximo e igual a a*raiz(2) <==> b = c =
a/raiz(2).


Então precisamos ter só b ou só c numa
expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em
função de c no teorema de Pitágoras:
b² + c² = a²
b² = a² - c²
b = raiz(a² - c²)

Agora fazendo bc:
bc = raiz(a² - c²) . c
bc = raiz(a².c² - c^4)

E agora bc terá valor máximo quando a².c² - c^4 for
máximo. Transformando isso numa função quadrática,
fazemos x = c²  e achamos o valor máximo que é o
vértice:
= a².c² - c^4
= a²x - x²

Que tem valor mínimo para o x do vértice:
x = -(a²)/2.(-1)
x = a²/2

E como x = c²:
x = a²/2
c² = a²/2
c = a/raiz(2)

Mas não sei se posso fazer essa transformação de uma
função de grau quatro para uma função quadrática para
fins de achar valores máximo e mínimos.
Se puder me ajudar mais um pouco, agradeço.

*** Você fez tudo certinho, só que deu muito mais trabalho....

Um abraço,

Claudio.


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