Re: [obm-l] dupla desigualdade

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Olá Cláudio!

Bom, entendi bem sua explicação e já agradeço. Mas
agora surgiram outras dúvidas.

Por que quando você chegou em:
a/(a + b + c) = r/h(a)

Você fez "a" constante para calcular os valores máximo
e mínimos de a/(a + b + c)? Sei que ficaria mais
complicado, mas então você poderia considerar b
constante também?

Para determinarmos b + c mínimo, será que não
poderíamos considerar direto que b + c > a, pela
condição de existência dos triângulos?

E de onde você tirou que:
(b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2)

Eu pensei que você pudesse ter feito isso:
De (b + c)² = a² + 2bc, sabemos que (b + c) será
máximo quando bc for máximo, já que “a” está
constante. Então precisamos ter só b ou só c numa
expressão para achar seu valor máximo. Isolando b em
função de c no teorema de Pitágoras:
b² + c² = a²
b² = a² - c²
b = raiz(a² - c²)

Agora fazendo bc:
bc = raiz(a² - c²) . c
bc = raiz(a².c² - c^4)

E agora bc terá valor máximo quando a².c² - c^4 for
máximo. Transformando isso numa função quadrática,
fazemos x = c²  e achamos o valor máximo que é o
vértice:
= a².c² - c^4
= a²x – x²

Que tem valor mínimo para o x do vértice:
x = -(a²)/2.(-1)
x = a²/2

E como x = c²:
x = a²/2
c² = a²/2
c = a/raiz(2)

Mas não sei se posso fazer essa transformação de uma
função de grau quatro para uma função quadrática para
fins de achar valores máximo e mínimos.

Se puder me ajudar mais um pouco, agradeço.

Abraços,

Rafael.


 --- Cláudio_(Prática)
<claudio@praticacorretora.com.br> escreveu: > Caro
Rafael:
> 
> Num triângulo retângulo cuja hipotenusa tem medida
> "a", cuja altura relativa
> à hipotenusa tem medida "h" e que está inscrito num
> círculo de raio "R",
> vale sempre o seguinte:
> a = 2R
> 0 < h <= R  ==>  R/h >= 1, com igualdade somente
> quando o triângulo for
> isósceles.
> 
> Supondo que as projeções dos catetos sobre a
> hipotenusa têm medidas "m"e
> "n", não é difícil mostrar que:
> h = raiz(m*n)  e  R = (m+n)/2.
> 
> Assim, a desigualdade acima nada mais é do que a
> desigualdade entre as
> médias geométrica e aritmética.
> 
> Por outro lado, considerando o raio "r" do círculo
> INSCRITO (juntamente com
> os catetos de medidas "b" e "c") teremos:
> Área do triângulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2  ==> 
> (a+b+c)*r = b*c
> 
> Além disso, também vale: a*h = b*c.
> 
> Logo, (a+b+c)*r = a*h  ==>  r/h = a/(a+b+c).
> 
> Agora resta achar os valores máximo e mínimo de r/h.
> No entanto, dado que
> "a"é constante, r/h é máximo quando b+c for mínimo e
> vice e versa. Assim,
> trata-se de achar os valores máximo e mínimo de b+c
> sujeito a b^2+c^2 = a^2,
> o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as
> desigualdades entre as
> médias aritmética e quadrática e a relação:
> (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de
> Pitágoras.
> 
> (b+c) é mínimo <==> b = 0 e c= a  ou  b = a e c = 0 
> ==>
> min(b+c) = a  ==>  max(r/h) = a/(a+a) = 1/2  (de
> fato, como excluímos os
> casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em
> triângulos degenerados, temos
> que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h <
> 1/2.
> 
> (b+c) é máximo <==> b = c = a/raiz(2)  ==>
> max(b+c) = a*raiz(2)  ==>  min(r/h) =
> a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) =
> raiz(2) - 1
> 
> Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2.
> 
> Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2
> 
> Um abraço,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM
> Subject: [obm-l] dupla desigualdade
> 
> 
> Pessoal,
> 
> Recebi um problema escrito dessa forma:
> 
> Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC
> subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2.
> 
> Sendo R o raio da circunferência circunscrita ao
> triângulo e h(a) a altura relativa à hipotenusa "a".
> 
> 
> 
> Mas já vi que isso não é verdade. Eu queria saber se
> alguém já viu algum exercício parecido e saberia
> dizer
> o que está errado nessa pergunta. Talvez tenha algum
> caso em que essa desigualdade seja válida, não
> sei...
> 
> Abraços,
> 
> Rafael.

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