Re: [obm-l] dupla desigualdade

[Rafael <matduvidas@xxxxxxxxxxxx>]

Ol� Cl�udio!

Bom, entendi bem sua explica��o e j� agrade�o. Mas
agora surgiram outras d�vidas.

Por que quando voc� chegou em:
a/(a + b + c) = r/h(a)

Voc� fez "a" constante para calcular os valores m�ximo
e m�nimos de a/(a + b + c)? Sei que ficaria mais
complicado, mas ent�o voc� poderia considerar b
constante tamb�m?

Para determinarmos b + c m�nimo, ser� que n�o
poder�amos considerar direto que b + c > a, pela
condi��o de exist�ncia dos tri�ngulos?

E de onde voc� tirou que:
(b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2)

Eu pensei que voc� pudesse ter feito isso:
De (b + c)� = a� + 2bc, sabemos que (b + c) ser�
m�ximo quando bc for m�ximo, j� que �a� est�
constante. Ent�o precisamos ter s� b ou s� c numa
express�o para achar seu valor m�ximo. Isolando b em
fun��o de c no teorema de Pit�goras:
b� + c� = a�
b� = a� - c�
b = raiz(a� - c�)

Agora fazendo bc:
bc = raiz(a� - c�) . c
bc = raiz(a�.c� - c^4)

E agora bc ter� valor m�ximo quando a�.c� - c^4 for
m�ximo. Transformando isso numa fun��o quadr�tica,
fazemos x = c�  e achamos o valor m�ximo que � o
v�rtice:
= a�.c� - c^4
= a�x � x�

Que tem valor m�nimo para o x do v�rtice:
x = -(a�)/2.(-1)
x = a�/2

E como x = c�:
x = a�/2
c� = a�/2
c = a/raiz(2)

Mas n�o sei se posso fazer essa transforma��o de uma
fun��o de grau quatro para uma fun��o quadr�tica para
fins de achar valores m�ximo e m�nimos.

Se puder me ajudar mais um pouco, agrade�o.

Abra�os,

Rafael.


 --- Cl�udio_(Pr�tica)
<claudio@praticacorretora.com.br> escreveu: > Caro
Rafael:
> 
> Num tri�ngulo ret�ngulo cuja hipotenusa tem medida
> "a", cuja altura relativa
> � hipotenusa tem medida "h" e que est� inscrito num
> c�rculo de raio "R",
> vale sempre o seguinte:
> a = 2R
> 0 < h <= R  ==>  R/h >= 1, com igualdade somente
> quando o tri�ngulo for
> is�sceles.
> 
> Supondo que as proje��es dos catetos sobre a
> hipotenusa t�m medidas "m"e
> "n", n�o � dif�cil mostrar que:
> h = raiz(m*n)  e  R = (m+n)/2.
> 
> Assim, a desigualdade acima nada mais � do que a
> desigualdade entre as
> m�dias geom�trica e aritm�tica.
> 
> Por outro lado, considerando o raio "r" do c�rculo
> INSCRITO (juntamente com
> os catetos de medidas "b" e "c") teremos:
> �rea do tri�ngulo = b*c/2 = r*(a+b+c)/2  ==> 
> (a+b+c)*r = b*c
> 
> Al�m disso, tamb�m vale: a*h = b*c.
> 
> Logo, (a+b+c)*r = a*h  ==>  r/h = a/(a+b+c).
> 
> Agora resta achar os valores m�ximo e m�nimo de r/h.
> No entanto, dado que
> "a"� constante, r/h � m�ximo quando b+c for m�nimo e
> vice e versa. Assim,
> trata-se de achar os valores m�ximo e m�nimo de b+c
> sujeito a b^2+c^2 = a^2,
> o que pode ser feito, por exemplo, usando-se as
> desigualdades entre as
> m�dias aritm�tica e quadr�tica e a rela��o:
> (b+c)^2 = a^2 + 2*b*c, que decorre do teorema de
> Pit�goras.
> 
> (b+c) � m�nimo <==> b = 0 e c= a  ou  b = a e c = 0 
> ==>
> min(b+c) = a  ==>  max(r/h) = a/(a+a) = 1/2  (de
> fato, como exclu�mos os
> casos extremos b = 0 ou c = 0, que resultam em
> tri�ngulos degenerados, temos
> que a desigualdade deve ser estrita, ou seja, r/h <
> 1/2.
> 
> (b+c) � m�ximo <==> b = c = a/raiz(2)  ==>
> max(b+c) = a*raiz(2)  ==>  min(r/h) =
> a/(a+a*raiz(2)) = 1/(1+raiz(2)) =
> raiz(2) - 1
> 
> Assim, raiz(2) - 1 <= r/h < 1/2.
> 
> Como 2/5 < raiz(2) - 1, teremos: 2/5 < r/h < 1/2
> 
> Um abra�o,
> Claudio.
> 
> ----- Original Message -----
> From: "Rafael" <matduvidas@yahoo.com.br>
> To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Sent: Thursday, January 30, 2003 1:41 PM
> Subject: [obm-l] dupla desigualdade
> 
> 
> Pessoal,
> 
> Recebi um problema escrito dessa forma:
> 
> Demonstrar que em todo triangulo retangulo ABC
> subsiste a dupla desigualdade: 2/5 < R/h(a) < 1/2.
> 
> Sendo R o raio da circunfer�ncia circunscrita ao
> tri�ngulo e h(a) a altura relativa � hipotenusa "a".
> 
> 
> 
> Mas j� vi que isso n�o � verdade. Eu queria saber se
> algu�m j� viu algum exerc�cio parecido e saberia
> dizer
> o que est� errado nessa pergunta. Talvez tenha algum
> caso em que essa desigualdade seja v�lida, n�o
> sei...
> 
> Abra�os,
> 
> Rafael.

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