[obm-l] Re: [obm-l] Existência e Unicidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote:
> 
> Nao vou ser formal !
> 
> Sendo    x' =f(x) um campo vetorial no R^n. 
> 
> Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie,
> 
>  D( f(x),f(y) )<=KD(x-y)  pra todos x,y no R^n .D é a distancia 
> 
> entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo
> instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy)
> 
> Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não..

É necessária sim. Considere no caso n=1 a função f(x) = x^(1/3).
Considere as soluções x0(t) = 0 e

x1(t) = 0 para t <= 0
x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t > 0
 
> E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é
> necessário??

O exemplo acima é Hölder. Você pode trocar 1/3 no expoente por qq outro
racional p/q com p e q ímpares, 0 < p/q < 1, e obter exemplos similares.

[]s, N.
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