Re: [obm-l] Re: [obm-l] Existência e Unicidade

[Salvador Addas Zanata <sazanata@xxxxxxxxxx>]

Nao tenho certeza absoluta (ja faz um tempo que vi isso), mas existe uma
condicao um pouco mais fraca que Lipschitz que garante a unicidade,
conhecida como criterio de Osgood:

x'=f(x,t) 
x(t0)=x0 


tem solucao unica se |f(x1,t)-f(x2,t)|<=G(|x1-x2|),

onde G e uma funcao definida dos reais positivos nos reais positivos
e satisfaz


integral de 1/G(s) de 0 ate 1 = +oo (mais infinito)


Na verdade me parece que essa condicao e necessaria e suficiente. 

Um excelente livro sobre o assunto e o de P. Hartman, Ordinary
Differential equations. Mas nao e um livro pra ler gostoso, acho que e
mais pra consultas...


Abraco,

Salvador



On Thu, 28 Nov 2002, Nicolau C. Saldanha wrote:

> On Thu, Nov 28, 2002 at 11:07:49AM -0300, bruno lima wrote:
> > 
> > Nao vou ser formal !
> > 
> > Sendo    x' =f(x) um campo vetorial no R^n. 
> > 
> > Se f(x) é uma aplicação de Lipschitz, ie,
> > 
> >  D( f(x),f(y) )<=KD(x-y)  pra todos x,y no R^n .D é a distancia 
> > 
> > entao dado qualquer ponto do R^n existe uma única solução que num certo
> > instante passa por esse ponto (Condição inicial ou Problema de Cauchy)
> > 
> > Quero saber se a condição Lipschitz é necessária?? Me parece que não..
> 
> É necessária sim. Considere no caso n=1 a função f(x) = x^(1/3).
> Considere as soluções x0(t) = 0 e
> 
> x1(t) = 0 para t <= 0
> x1(t) = (sqrt(6)/3) t^(3/2) para t > 0
>  
> > E se eu trocar aplicação de Lipschitz por aplicação de Holder?? Isso é
> > necessário??
> 
> O exemplo acima é Hölder. Você pode trocar 1/3 no expoente por qq outro
> racional p/q com p e q ímpares, 0 < p/q < 1, e obter exemplos similares.
> 
> []s, N.
> =========================================================================
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
> =========================================================================
> 

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
=========================================================================