[obm-l] Sequencia de Fibonacci um Enigma

[Osvaldo Corrêa <osvaldo@xxxxxxxxxxxxx>]

Title:

Olá lista,

Sou novo na lista e desculpe se meu assunto é meio offtopic.

Bem, estou com uma questão do Livro" Teoria elementar dos Números" do autor
Edgard de Alencar filho,  a questão é a 23 do capitulo 17. 
Na verdade, tenho um verdadeiro enigma.
a questão é a seguinte:

(Fn Fn+3)^2 + (2Fn+1 Fn+2)^2
 =  (F2n+3)^2   Para Todo n >= 1

A seqüência de fibonacci é definida da seguinte maneira: a definição de um
numero da seqüência e soma de seus dois antecessores, logo
Fn = Fn-1 + Fn-2  sendo n o índice da posição do numero
na seqüência como no exemplo abaixo:

F1  ........................................................................................................................F20
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,
4181, 6765

Bem, vamos até onde cheguei. Primeiro eu tentei por indução, desta forma
igualei n a 1  e verifiquei que é verdadeiro.
Igualei n a k e fiz as subistituiçoes e montei a minha hipótese

(Fk Fk+3)^2 + (2Fk+1
Fk+2)^2  =  (F2k+3)^2   (Hipótese)

Depois montei a tese igualando n  a  k+1 e fazendo as substituições.

(Fk+1 Fk+4)^2 + (2Fk+2 Fk+3)^2
 =  (F2k+5)^2   (Tese)

O problema e que não consegui fazer as substituições com a hipótese para
chegar na resolução deste problema. Alguém tem uma sugestão 
para solução deste problema?  Será que a solução pode ser feita de outra
maneira que não seja indução?

Agradeço a todos da Lista

Osvaldo Corrêa
Universidade Estadual de Goiás - UEG